Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
a.
a.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução geral seja
. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisaremos entender como relacionar as soluções exponenciais com a equação diferencial que as gera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar uma equação diferencial cuja solução geral é uma combinação de exponenciais, usamos a equação característica. A equação característica é obtida assumindo uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação diferencial de segunda ordem geral:
Derivamos
duas vezes:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Como
nunca é zero, podemos dividir toda a equação por
:
Essa é a equação característica.
Passo 5
No nosso caso, as soluções gerais são
e
, então os valores de
são 2 e 3. Isso significa que a equação característica tem raízes
e
.
Portanto, a equação característica é:
Passo 6
Expandindo a equação característica:
Então, a equação diferencial correspondente é:
Resposta
A equação diferencial de segunda ordem é: