Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
a. y(x) = c1 * e^(2 * x) + c2 * e^(3 * x)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução geral seja . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisaremos entender como relacionar as soluções exponenciais com a equação diferencial que as gera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar uma equação diferencial cuja solução geral é uma combinação de exponenciais, usamos a equação característica. A equação característica é obtida assumindo uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial de segunda ordem geral:
Derivamos duas vezes:

Passo 4

Substituindo , e na equação diferencial:
Como nunca é zero, podemos dividir toda a equação por :
Essa é a equação característica.

Passo 5

No nosso caso, as soluções gerais são e , então os valores de são 2 e 3. Isso significa que a equação característica tem raízes e .
Portanto, a equação característica é:

Passo 6

Expandindo a equação característica:
Então, a equação diferencial correspondente é:

Resposta

A equação diferencial de segunda ordem é:

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