Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
q. 25 d^2y/dx^2 - 20 dy/dx + 4y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é . Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar usar o método dos coeficientes constantes e achar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo por , onde é uma constante a ser determinada. Assim, nossa equação se transforma em:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Como temos uma raiz dupla (ou seja, duas raízes iguais), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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