Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
q. 25 d^2y/dx^2 - 20 dy/dx + 4y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é . Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar usar o método dos coeficientes constantes e achar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo por , onde é uma constante a ser determinada. Assim, nossa equação se transforma em:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Como temos uma raiz dupla (ou seja, duas raízes iguais), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
h. y'' + 2y' + 5/4 y = 0,
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
e. d^2y/dx^2 + y = 0
y(pi / 3) = 2, y' (pi / 2) = -4
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
o. d²y/dx² - 4 dy/dx + 4y = 0,
y(0) = ln(2),
y'(0) = 3 ln(2)
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
f. t^2 y'' - t y' + 5 y = 0, t > 0;