Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
q.
q.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar usar o método dos coeficientes constantes e achar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo
por
, onde
é uma constante a ser determinada. Assim, nossa equação se transforma em:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 4
Como temos uma raiz dupla (ou seja, duas raízes iguais), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
h. ,
h.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
e.
e.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
o. ,
,
o.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
f. ;
f.