Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
e.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem e duas condições iniciais. A matéria que vamos precisar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer como encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente sabe que a solução geral desse tipo de equação tem a forma:
onde
e
são constantes que a gente precisa encontrar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos usar as condições iniciais que foram dadas:
Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Vamos aplicar a primeira condição inicial na solução geral:
Sabemos que:
Então, temos:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial na derivada:
Sabemos que:
Então, temos:
Passo 6
Agora que sabemos que
, vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar
:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é: