Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
e. d^2y/dx^2 + y = 0
y(pi / 3) = 2, y' (pi / 2) = -4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem e duas condições iniciais. A matéria que vamos precisar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer como encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente sabe que a solução geral desse tipo de equação tem a forma:
onde e são constantes que a gente precisa encontrar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos usar as condições iniciais que foram dadas:
Primeiro, vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Vamos aplicar a primeira condição inicial na solução geral:
Sabemos que:
Então, temos:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
çã

Passo 5

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial na derivada:
Sabemos que:
Então, temos:
çã

Passo 6

Agora que sabemos que , vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar :
Subtraindo 4 de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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