Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
f.
;
f.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem essa equação diferencial aqui:
O que a gente precisa fazer é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar o método das equações diferenciais de Euler. Esse método é ótimo quando a equação tem coeficientes que são polinômios em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona uma equação de Euler. Ela geralmente tem a forma:
No nosso caso, temos:
O passo seguinte é assumir que a solução tem a forma:
onde
é uma constante que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Vamos substituir essas expressões na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
-
-
-
já está simplificado.
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, podemos fatorar
da expressão:
Como
nunca é zero para
, a gente fica com:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Como as raízes são complexas
, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
o. ,
,
o.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
q.
q.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
b. ;
b.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
g.
g.