Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
f. t^2 y'' - t y' + 5 y = 0, t > 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa equação diferencial aqui:
O que a gente precisa fazer é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar o método das equações diferenciais de Euler. Esse método é ótimo quando a equação tem coeficientes que são polinômios em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona uma equação de Euler. Ela geralmente tem a forma:
No nosso caso, temos:
O passo seguinte é assumir que a solução tem a forma:
onde é uma constante que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Vamos substituir essas expressões na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
  1. já está simplificado.
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, podemos fatorar da expressão:
Como nunca é zero para , a gente fica com:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 7

Como as raízes são complexas , a solução geral da equação diferencial é:
onde e á.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
o. d²y/dx² - 4 dy/dx + 4y = 0,
y(0) = ln(2),
y'(0) = 3 ln(2)
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
q. 25 d^2y/dx^2 - 20 dy/dx + 4y = 0
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
b. t^2 y'' + 4 t y' + 2 y = 0, t > 0;
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
g. t^2 y'' + 3 t y' - 3 y = 0, t > 0