Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
h.
,
h.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. Esse tipo de problema está na matéria de Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação geral é
, e a equação característica correspondente é
. No nosso caso,
e
, então a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Passo 4
Os valores de
são complexos, da forma
, onde
e
. Quando temos raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
e.
e.
Verifique se as funções
e
são soluções da EDO dada. Elas formam um conjunto fundamental de soluções?
c. ,
c.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
q.
q.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
o. ,
,
o.