Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
o.
,
,
o.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar o método das equações características para encontrar a solução dessa equação diferencial homogênea de coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica da nossa equação diferencial. Para uma equação do tipo
, a equação característica é
. No nosso caso, a equação é
, então
e
. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Obtemos uma raiz dupla
.
Passo 4
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Agora, vamos encontrar a derivada de
para usar a segunda condição:
Aplicando
e
:
Substituindo
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é:
Exercícios relacionados
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
q.
q.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
h. ,
h.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
f. ;
f.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
b. ;
b.