Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
o. d²y/dx² - 4 dy/dx + 4y = 0,
y(0) = ln(2),
y'(0) = 3 ln(2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação com as condições iniciais e . Vamos precisar usar o método das equações características para encontrar a solução dessa equação diferencial homogênea de coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica da nossa equação diferencial. Para uma equação do tipo , a equação característica é . No nosso caso, a equação é , então e . Assim, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Obtemos uma raiz dupla .

Passo 4

Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação diferencial homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Então, .
Agora, vamos encontrar a derivada de para usar a segunda condição:
Aplicando e :
Substituindo :

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

Exercícios relacionados

Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
q. 25 d^2y/dx^2 - 20 dy/dx + 4y = 0
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
h. y'' + 2y' + 5/4 y = 0,
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
f. t^2 y'' - t y' + 5 y = 0, t > 0;
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
b. t^2 y'' + 4 t y' + 2 y = 0, t > 0;