Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução geral seja . Vamos precisar usar conhecimento sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como derivar uma equação a partir da sua solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a solução geral dada: . Aqui, e são constantes arbitrárias. Para encontrar a equação diferencial, precisamos derivar para achar e .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada :
Usando a regra do produto:

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada :
Mais uma vez, usando a regra do produto:

Passo 5

Agora que temos , e , vamos montar a equação diferencial. Sabemos que uma equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e que satisfazem essa equação para a solução geral dada.

Passo 6

Substituindo , e na equação:
Podemos fatorar :
Para que isso seja válido para todo , o que está dentro dos colchetes deve ser igual a zero.

Passo 7

Agrupando os termos:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo em :
Podemos escolher para simplificar, então e .

Resposta

A equação diferencial de segunda ordem é:

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i.
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a.
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j.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.