Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
d.
d.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução geral seja
. Vamos precisar usar conhecimento sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como derivar uma equação a partir da sua solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a solução geral dada:
. Aqui,
e
são constantes arbitrárias. Para encontrar a equação diferencial, precisamos derivar
para achar
e
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada
:
Usando a regra do produto:
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada
:
Mais uma vez, usando a regra do produto:
Passo 5
Agora que temos
,
e
, vamos montar a equação diferencial. Sabemos que uma equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
,
e
que satisfazem essa equação para a solução geral dada.
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação:
Podemos fatorar
:
Para que isso seja válido para todo
, o que está dentro dos colchetes deve ser igual a zero.
Passo 7
Agrupando os termos:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
- De
, temos . - Substituindo em
:
Podemos escolher
para simplificar, então
e
.
Resposta
A equação diferencial de segunda ordem é:
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i.
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d.
d.