Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
e.
,
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução geral seja
. Estamos lidando com equações diferenciais, especificamente de segunda ordem, e com funções hiperbólicas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções hiperbólicas e entender como elas se comportam nas equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as funções hiperbólicas
e
:
Essas funções são semelhantes às funções trigonométricas, mas relacionadas à hipérbole.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para achar as derivadas necessárias para a equação diferencial. A primeira derivada de
é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Observamos que a segunda derivada
é igual à função original
:
Isso significa que:
Passo 5
Então, podemos rearranjar essa igualdade para formar a equação diferencial homogênea de segunda ordem:
Resposta
A equação diferencial de segunda ordem desejada é: