Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
e. y(x) = c1 cosh(x) + c2 sinh(x),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução geral seja . Estamos lidando com equações diferenciais, especificamente de segunda ordem, e com funções hiperbólicas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções hiperbólicas e entender como elas se comportam nas equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as funções hiperbólicas e :
Essas funções são semelhantes às funções trigonométricas, mas relacionadas à hipérbole.

Passo 3

Agora, vamos derivar para achar as derivadas necessárias para a equação diferencial. A primeira derivada de é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Observamos que a segunda derivada é igual à função original :
Isso significa que:

Passo 5

Então, podemos rearranjar essa igualdade para formar a equação diferencial homogênea de segunda ordem:

Resposta

A equação diferencial de segunda ordem desejada é:

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