Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.
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Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisamos encontrar as raízes da equação característica associada a essa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
A equação característica é:
No nosso caso,
,
e
. Substituindo esses valores, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante (
):
Como
, temos duas raízes reais e distintas:
Passo 4
Com as raízes
e
, que são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores das raízes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: