Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
g.
g.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é assim:
Além disso, temos as condições iniciais
e
. Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para encontrar a solução. Precisaremos encontrar os valores que satisfazem a equação característica dessa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então,
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
.
Substituindo na solução geral:
Segunda condição:
.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Agora, substituindo
:
Passo 6
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Agora, substituindo
em
:
Resposta
A solução do problema é:
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Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
g.
g.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.
d.
Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
c. ,
c.
Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
f. ,
f.