Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
g.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é assim:
Além disso, temos as condições iniciais e . Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para encontrar a solução. Precisaremos encontrar os valores que satisfazem a equação característica dessa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então,
Isso nos dá duas raízes:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: .
Substituindo na solução geral:
Segunda condição: .
Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Agora, substituindo :

Passo 6

Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo em :

Resposta

A solução do problema é:

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Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
g.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.
Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
c. ,
Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
f. ,