Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
h.
.
h.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma equação diferencial do tipo
onde
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de coeficientes variáveis, especificamente as chamadas equações de Cauchy-Euler. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de substituição por potenciação, que nos ajuda a encontrar as soluções dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma potência de
, ou seja,
, onde
é um número que vamos determinar. Essa é uma estratégia comum para equações de Cauchy-Euler porque simplifica a equação substituindo as derivadas por funções de potências.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
Agora, juntando tudo:
Passo 6
Como
é comum em todos os termos e
, podemos fatorar:
Isso nos dá a equação característica:
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
:
Os valores de
são complexos:
e
.
Passo 8
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação é:
No nosso caso,
e
. Então, substituindo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Utilize o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover uma partícula ao longo da curva
, orientada positivamente, onde
e
é o círculo
.
Calcule
, onde
é a esfera unitária
.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
c.
c.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.
d.