Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
h. .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma equação diferencial do tipo onde . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de coeficientes variáveis, especificamente as chamadas equações de Cauchy-Euler. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de substituição por potenciação, que nos ajuda a encontrar as soluções dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma potência de , ou seja, , onde é um número que vamos determinar. Essa é uma estratégia comum para equações de Cauchy-Euler porque simplifica a equação substituindo as derivadas por funções de potências.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de :

Passo 4

Substituímos , e na equação original:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
Agora, juntando tudo:

Passo 6

Como é comum em todos os termos e , podemos fatorar:
Isso nos dá a equação característica:

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de :
Os valores de são complexos: e .

Passo 8

Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação é:
No nosso caso, e . Então, substituindo:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde e são constantes arbitrárias.

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Utilize o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de força ao mover uma partícula ao longo da curva , orientada positivamente, onde e é o círculo .
Calcule , onde é a esfera unitária .
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
c.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.