Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo , onde . A matéria que vamos usar para resolver isso é equações diferenciais de coeficientes variáveis, mais especificamente a equação de Euler ou equidimensional. O método que vamos precisar envolve assumir uma solução na forma de e encontrar o valor de que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma . Isso significa que a primeira derivada será e a segunda derivada será .

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação original:
Substituindo:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, podemos fatorar :
Como nunca é zero para , podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Expandindo:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para . A equação é:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e .
Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas:

Passo 6

Com as raízes complexas , a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
h. .
Utilize o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de força ao mover uma partícula ao longo da curva , orientada positivamente, onde e é o círculo .
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
g.