Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
c.
c.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo
, onde
. A matéria que vamos usar para resolver isso é equações diferenciais de coeficientes variáveis, mais especificamente a equação de Euler ou equidimensional. O método que vamos precisar envolve assumir uma solução na forma de
e encontrar o valor de
que satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma
. Isso significa que a primeira derivada será
e a segunda derivada será
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, podemos fatorar
:
Como
nunca é zero para
, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para
. A equação é:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas:
Passo 6
Com as raízes complexas
, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
h. .
h.
Utilize o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover uma partícula ao longo da curva
, orientada positivamente, onde
e
é o círculo
.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.
d.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
g.
g.