Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
g.
g.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial de segunda ordem:
Esse tipo de equação é chamada de linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma:
Isso porque funções exponenciais são soluções comuns para equações diferenciais lineares. Vamos derivar essa função para substituir na equação original.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Agora, substituímos essas expressões na equação diferencial original:
Passo 4
Como
nunca é zero, podemos dividir toda a equação por
:
Essa é a equação característica associada à nossa equação diferencial.
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.
d.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
c.
c.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
g.
g.
Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
c. ,
c.