Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
g. 2 d²y/dx² - 9 dy/dx + 9y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial de segunda ordem:
Esse tipo de equação é chamada de linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma:
Isso porque funções exponenciais são soluções comuns para equações diferenciais lineares. Vamos derivar essa função para substituir na equação original.

Passo 3

Calculando as derivadas:
Agora, substituímos essas expressões na equação diferencial original:

Passo 4

Como nunca é zero, podemos dividir toda a equação por :
Essa é a equação característica associada à nossa equação diferencial.

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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