Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
c.
,
c.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução geral seja
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais, especificamente equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos sobre soluções de equações diferenciais e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem tem a forma
, onde
e
são soluções lineares independentes. No nosso caso, as soluções são
e
.
Passo 3
Sabemos que quando as soluções são funções trigonométricas como
e
, a equação diferencial associada costuma ter a forma
. Vamos verificar isso.
Passo 4
Calculando as derivadas de
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação
:
Isso confirma que
é a equação diferencial que temos.
Resposta
A equação diferencial de segunda ordem é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
g.
g.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais de segunda ordem, encontre a solução geral.
g.
g.
Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
f. ,
f.
Encontre o Wronskiano de cada um dos seguintes conjuntos de funções:
a.
a.