Encontre equação diferencial de segunda ordem de tal forma que sua solução geral seja:
c. y(x) = c1 cos(x) + c2 sen(x),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução geral seja . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais, especificamente equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos sobre soluções de equações diferenciais e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem tem a forma , onde e são soluções lineares independentes. No nosso caso, as soluções são e .

Passo 3

Sabemos que quando as soluções são funções trigonométricas como e , a equação diferencial associada costuma ter a forma . Vamos verificar isso.

Passo 4

Calculando as derivadas de :

Passo 5

Agora, substituímos e na equação :
Isso confirma que é a equação diferencial que temos.

Resposta

A equação diferencial de segunda ordem é:

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