Verifique se as funções y1 e y2 são soluções da EDO dada. Elas formam um conjunto fundamental de soluções?
c. y'' - 6y' + 25y = 0,
y1(x) = e^(3x) cos(4x), y2(x) = e^(3x) sen(4x)

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se as funções e são soluções da equação diferencial ordinária (EDO) dada. Além disso, precisamos descobrir se essas funções formam um conjunto fundamental de soluções. Vou te explicar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a EDO que temos:
Isso significa que a segunda derivada de menos 6 vezes a primeira derivada de mais 25 vezes iguala a zero. Nosso objetivo é verificar se as funções e satisfazem essa equação.

Passo 3

Vamos começar verificando se é uma solução da EDO. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de .
Primeira derivada de :
Segunda derivada de :
Simplificando:

Passo 4

Agora vamos substituir , e na EDO:
Distribuindo o -6:
Vamos somar os termos semelhantes:
Para :
Para :
Então, a substituição resulta em:
Isso não é igual a zero, o que significa que não é uma solução da EDO.

Passo 5

Já que não satisfaz a EDO, não precisamos verificar para concluir se elas formam um conjunto fundamental. Para que duas funções formem um conjunto fundamental de soluções de uma EDO linear de segunda ordem, ambas devem ser soluções da equação e devem ser linearmente independentes.

Passo 6

Como não é uma solução da EDO, podemos concluir que as funções e não formam um conjunto fundamental de soluções para a equação dada.

Resposta

As funções e não são soluções da EDO e, portanto, não formam um conjunto fundamental de soluções.

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