Utilize o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de força ao mover uma partícula ao longo da curva , orientada positivamente, onde e é o círculo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de uma curva . Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de linha com integrais de superfície. Vamos precisar entender o que é o teorema, calcular o rotacional do campo e escolher uma superfície adequada para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva é igual à integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como fronteira. Matematicamente, isso é escrito como:
Onde:
é o trabalho realizado pelo campo ao longo de .
é o rotacional de .
é o vetor normal à superfície .
é um elemento de área na superfície.
Passo 3
Vamos começar calculando o rotacional do campo . Dado que:
O rotacional é calculado pela seguinte determinação do determinante:
Vamos calcular cada componente:
Componente i:
Componente j:
Componente k:
Portanto,
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície cuja fronteira seja a curva . A curva é o círculo no plano . A superfície mais simples que podemos escolher é o disco plano dentro desse círculo.
Para essa superfície plana, o vetor normal aponta na direção positiva de , ou seja, .
Passo 5
Vamos calcular a integral de superfície:
Substituindo e :
Como na superfície escolhida, temos:
Passo 6
Agora, a integral de superfície se simplifica para:
A integral é simplesmente a área do disco . O raio do círculo é , então a área é:
Á
Passo 7
Portanto, a integral de superfície fica:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força ao mover a partícula ao longo da curva é .