Calcule , onde é a esfera unitária .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície de sobre a esfera unitária . Isso entra no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas esféricas e entender como calcular integrais em superfícies curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma esfera unitária tem raio igual a 1. Em coordenadas esféricas, podemos representar os pontos da esfera usando os ângulos (azimute) e (inclinação). As coordenadas cartesianas podem ser convertidas para esféricas assim:

Passo 3

A expressão na integral fica, então, . Agora, precisamos expressar o elemento de área na esfera em coordenadas esféricas. Para uma esfera com raio , temos:
Como nossa esfera é unitária ( ), simplifica para:

Passo 4

Agora, a integral de superfície se transforma em uma integral dupla em termos de e :
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a .

Passo 5

Para integrar em relação a , fazemos uma substituição:
A integral fica:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

A integral de superfície sobre a esfera unitária é igual a .

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h. .