Calcule integral duplaS z^2 dS, onde S é a esfera unitária x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície de sobre a esfera unitária . Isso entra no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas esféricas e entender como calcular integrais em superfícies curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma esfera unitária tem raio igual a 1. Em coordenadas esféricas, podemos representar os pontos da esfera usando os ângulos x = sinphi costheta, y = sinphi sintheta, z = cosphi (azimute) e (inclinação). As coordenadas cartesianas podem ser convertidas para esféricas assim:

Passo 3

A expressão dS = r^2 sinphi , dphi , dtheta na integral fica, então, dS = sinphi , dphi , dtheta . Agora, precisamos expressar o elemento de área na esfera em coordenadas esféricas. Para uma esfera com raio , temos:
Como nossa esfera é unitária ( ), simplifica para:

Passo 4

Agora, a integral de superfície se transforma em uma integral dupla em termos de integral duplaS z^2 , dS = integral0^2pi integral0^pi (cosphi)^2 sinphi , dphi , dtheta e :
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a .

Passo 5

Para integrar u = cosphi Rightarrow du = -sinphi , dphi em relação a -integralu=1^u=-1 u^2 , du = integral-1^1 u^2 , du = [ u^33 ]-1^1 = 13 - (-13) = 23 , fazemos uma substituição:
A integral fica:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral duplaS z^2 , dS = integral0^2pi 23 , dtheta = 23 times 2pi = 4pi3

Resposta

A integral de superfície sobre a esfera unitária é igual a .

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