Calcule
, onde
é a esfera unitária
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície de
sobre a esfera unitária
. Isso entra no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas esféricas e entender como calcular integrais em superfícies curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma esfera unitária tem raio igual a 1. Em coordenadas esféricas, podemos representar os pontos da esfera usando os ângulos
(azimute) e
(inclinação). As coordenadas cartesianas
podem ser convertidas para esféricas assim:
Passo 3
A expressão
na integral fica, então,
. Agora, precisamos expressar o elemento de área
na esfera em coordenadas esféricas. Para uma esfera com raio
, temos:
Como nossa esfera é unitária (
), simplifica para:
Passo 4
Agora, a integral de superfície se transforma em uma integral dupla em termos de
e
:
Vamos primeiro resolver a integral interna em relação a
.
Passo 5
Para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição:
A integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
A integral de superfície
sobre a esfera unitária é igual a
.
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Determine se cada uma das funções abaixo são bijetoras de
para
:
Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto
para ele mesmo é injetora:
Utilize o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover uma partícula ao longo da curva
, orientada positivamente, onde
e
é o círculo
.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
h. .
h.