Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
b. t^2 y'' + 4 t y' + 2 y = 0, t > 0;

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: para . Esse tipo de equação é conhecida como equação de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos usar o método específico para esse tipo de equação, que envolve assumir uma solução da forma , onde é um número que a gente vai descobrir.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de . Vamos calcular a primeira e a segunda derivada:

Passo 3

Agora, substituímos essas derivadas na equação original:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:

Passo 5

Fatoramos da equação:
Como nunca é zero para , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 6

Simplificamos a equação quadrática:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções para :

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral é .

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