Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
b. t^2 y'' + 4 t y' + 2 y = 0, t > 0;

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: para . Esse tipo de equação é conhecida como equação de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos usar o método específico para esse tipo de equação, que envolve assumir uma solução da forma , onde é um número que a gente vai descobrir.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de . Vamos calcular a primeira e a segunda derivada:

Passo 3

Agora, substituímos essas derivadas na equação original:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:

Passo 5

Fatoramos da equação:
Como nunca é zero para , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 6

Simplificamos a equação quadrática:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções para :

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral é .

Exercícios relacionados

Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
f. t^2 y'' - t y' + 5 y = 0, t > 0;
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
o. d²y/dx² - 4 dy/dx + 4y = 0,
y(0) = ln(2),
y'(0) = 3 ln(2)
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
g. t^2 y'' + 3 t y' - 3 y = 0, t > 0
Mostre que a função dada y1 é solução da respectiva equação diferencial dada. Depois, use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2 de tal modo que y1 e y2 formem um conjunto fundamental de soluções.
e. x y'' - y' + 4 x^3 y = 0, x > 0,
y1(x) = sen(x^2),