Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
b.
;
b.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
para
. Esse tipo de equação é conhecida como equação de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos usar o método específico para esse tipo de equação, que envolve assumir uma solução da forma
, onde
é um número que a gente vai descobrir.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
. Vamos calcular a primeira e a segunda derivada:
Passo 3
Agora, substituímos essas derivadas na equação original:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:
Passo 5
Fatoramos
da equação:
Como
nunca é zero para
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 6
Simplificamos a equação quadrática:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral é
.