Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
g. t^2 y'' + 3 t y' - 3 y = 0, t > 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou:
Temos a seguinte equação diferencial:
Esse problema pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos usar o método das equações de Euler, que é bem útil quando os coeficientes são polinomiais em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método das equações de Euler. Esse método assume que a solução tem a forma:
onde é um número real que precisamos encontrar. A ideia é substituir essa forma na equação original para encontrar os valores de que satisfazem a equação.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação diferencial original:
Substituindo as derivadas:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. permanece igual.
Então, a equação fica:

Passo 6

Como nunca é zero para , podemos igualar o termo dentro dos colchetes a zero:
Simplificando:

Passo 7

Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :
Então, temos duas soluções:

Passo 8

Com os valores de encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde e são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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