Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
g.
g.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou:
Temos a seguinte equação diferencial:
Esse problema pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos usar o método das equações de Euler, que é bem útil quando os coeficientes são polinomiais em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método das equações de Euler. Esse método assume que a solução tem a forma:
onde
é um número real que precisamos encontrar. A ideia é substituir essa forma na equação original para encontrar os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo as derivadas:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
-
-
-
permanece igual.
Então, a equação fica:
Passo 6
Como
nunca é zero para
, podemos igualar o termo dentro dos colchetes a zero:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Então, temos duas soluções:
Passo 8
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde
e
são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: