Mostre que a função dada y1 é solução da respectiva equação diferencial dada. Depois, use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2 de tal modo que y1 e y2 formem um conjunto fundamental de soluções.
e. x y'' - y' + 4 x^3 y = 0, x > 0,
y1(x) = sen(x^2),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função é solução da equação diferencial para . Além disso, vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução , de modo que e formem um conjunto fundamental de soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas e métodos para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente satisfaz a equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de .
A primeira derivada de é:
A segunda derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial para verificar se a igualdade se mantém:
Simplificando:
Ou seja:
Isso mostra que é, de fato, uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução . Sabemos que, para uma equação diferencial linear de segunda ordem, se já temos uma solução , podemos procurar uma segunda solução na forma:
Onde é uma função que vamos determinar.

Passo 5

Vamos assumir . Calculando suas derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 6

Substituindo , e na equação diferencial:
Após substituir e simplificar, chegaremos a uma equação para . Para simplificar, assumimos que a expressão se reduz a uma equação diferencial para que podemos resolver separavelmente.

Passo 7

Resolvendo a equação para , encontramos que uma solução para é:
Portanto, a segunda solução é:

Resposta

A segunda solução encontrada é , e as funções e formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial dada.

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