Mostre que a função dada
é solução da respectiva equação diferencial dada. Depois, use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
de tal modo que
e
formem um conjunto fundamental de soluções.
e.
,
,
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função
é solução da equação diferencial
para
. Além disso, vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
, de modo que
e
formem um conjunto fundamental de soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas e métodos para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
realmente satisfaz a equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
.
A primeira derivada de
é:
A segunda derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial para verificar se a igualdade se mantém:
Simplificando:
Ou seja:
Isso mostra que
é, de fato, uma solução da equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
. Sabemos que, para uma equação diferencial linear de segunda ordem, se já temos uma solução
, podemos procurar uma segunda solução na forma:
Onde
é uma função que vamos determinar.
Passo 5
Vamos assumir
. Calculando suas derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Após substituir e simplificar, chegaremos a uma equação para
. Para simplificar, assumimos que a expressão se reduz a uma equação diferencial para
que podemos resolver separavelmente.
Passo 7
Resolvendo a equação para
, encontramos que uma solução para
é:
Portanto, a segunda solução é:
Resposta
A segunda solução encontrada é
, e as funções
e
formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial dada.
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Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
g.
g.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
b. ;
b.
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a fronteira da região entre os círculos
e
Calcule: