Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a fronteira da região entre os círculos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha ao longo da curva
. Essa curva
é a fronteira entre dois círculos: um com equação
e outro com
. O conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teorema para transformar a integral de linha em uma integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula do teorema é:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Perceba que
em coordenadas polares, onde
é a distância ao origem.
Passo 5
Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração, já que a região
é um anel entre dois círculos. Em coordenadas polares:
E o elemento de área
é:
Passo 6
Substituindo na integral dupla:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna:
Agora, substituímos de volta:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral de
de
a
:
Isso porque a área positiva e negativa de
se cancelam nesse intervalo.
Resposta
A integral de linha é igual a zero.
Exercícios relacionados
Mostre que a função dada
é solução da respectiva equação diferencial dada. Depois, use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
de tal modo que
e
formem um conjunto fundamental de soluções.
e. ,
,
e.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
g.
g.
Calcule: