Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
ointC x e^-2 x d x+(x^4+2 x^2 y^2) d y, C é a fronteira da região entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha ao longo da curva . Essa curva é a fronteira entre dois círculos: um com equação e outro com . O conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teorema para transformar a integral de linha em uma integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada ointC M , dx + N , dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dA com uma integral dupla sobre a região M(x, y) = x e^-2x e N(x, y) = x^4 + 2x^2y^2 delimitada por . A fórmula do teorema é:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x = partialpartial x (x^4 + 2x^2y^2) = 4x^3 + 4xy^2
partial Mpartial y = partialpartial y (x e^-2x) = 0

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 4x^3 + 4xy^2 - 0 ) dA = integral duplaD 4x(x^2 + y^2) , dA
Perceba que em coordenadas polares, onde é a distância ao origem.

Passo 5

Vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração, já que a região x = r costheta e y = r sintheta é um anel entre dois círculos. Em coordenadas polares:
dA = r , dr , dtheta
E o elemento de área é:

Passo 6

Substituindo na integral dupla:
4x(x^2 + y^2) = 4r costheta cdot r^2 = 4r^3 costheta
Então, a integral fica:
4 integral0^2pi integral1^2 r^3 costheta cdot r , dr , dtheta = 4 integral0^2pi costheta ( integral1^2 r^4 , dr ) dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna:
integral1^2 r^4 , dr = [ r^55 ]1^2 = 325 - 15 = 315
Agora, substituímos de volta:
4 cdot 315 integral0^2pi costheta , dtheta

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral de integral0^2pi costheta , dtheta = 0 de a :
Isso porque a área positiva e negativa de se cancelam nesse intervalo.

Resposta

A integral de linha é igual a zero.
0

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Em cada uma das seguintes equações diferenciais, use o método descrito no item 4 para determinar a respectiva solução geral.
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