Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar os pontos singulares da equação diferencial dada e verificar se cada um deles é regular ou irregular. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem, e vamos precisar entender o que são pontos singulares e como determinar se eles são regulares ou irregulares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de segunda ordem:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Os pontos singulares são aqueles valores de
onde o coeficiente de
(que é
) se anula, ou seja, onde
. Então, vamos resolver:
Então,
é um ponto singular.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se esse ponto singular é regular ou irregular. Para isso, usamos os seguintes critérios:
Um ponto singular
é regular se as funções:
são analíticas em
. Se não forem, o ponto é irregular.
Passo 5
Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde
:
Primeiro, calculamos
:
Essa expressão é bem tranquila, não tem nenhum problema em
, então é analítica.
Segundo, calculamos
:
Também é uma expressão simples e analítica em
.
Passo 6
Como ambas as expressões são analíticas em
, concluímos que o ponto singular
é um ponto singular regular.
Resposta
O ponto singular da equação é
e ele é um ponto singular regular.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais: (usando a técnica de decomposição em frações parciais: )
Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.1):
(f) , com
(f)
Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;
Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,