Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar os pontos singulares da equação diferencial dada e verificar se cada um deles é regular ou irregular. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem, e vamos precisar entender o que são pontos singulares e como determinar se eles são regulares ou irregulares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de segunda ordem:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Os pontos singulares são aqueles valores de onde o coeficiente de (que é ) se anula, ou seja, onde . Então, vamos resolver:
Então, é um ponto singular.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se esse ponto singular é regular ou irregular. Para isso, usamos os seguintes critérios:
Um ponto singular é regular se as funções:
são analíticas em . Se não forem, o ponto é irregular.

Passo 5

Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde :
Primeiro, calculamos :
Essa expressão é bem tranquila, não tem nenhum problema em , então é analítica.
Segundo, calculamos :
Também é uma expressão simples e analítica em .

Passo 6

Como ambas as expressões são analíticas em , concluímos que o ponto singular é um ponto singular regular.

Resposta

O ponto singular da equação é e ele é um ponto singular regular.

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Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
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