Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais; integral d uu cdot raiz5-u^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral duu cdot raiz5 - u^2 usando o método de substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo radicais como raiza^2 - u^2. Vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas e fazer uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos que temos raiz5 - u^2 na integral. Isso se assemelha à forma raiza^2 - u^2, onde a = raiz5. Nesse caso, usamos a substituição trigonométrica u = a sintheta. Então, vamos definir:
u = raiz5 sintheta

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a theta para encontrar du:
du = raiz5 costheta , dtheta

Passo 4

Substituímos u e du na integral original:
integral duu cdot raiz5 - u^2 = integral raiz5 costheta , dthetaraiz5 sintheta cdot raiz5 - 5 sin^2theta

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz5 - 5 sin^2theta = raiz5(1 - sin^2theta) = raiz5 costheta
Então, a integral fica:
integral raiz5 costheta , dthetaraiz5 sintheta cdot raiz5 costheta = integral 1raiz5 sintheta , dtheta

Passo 6

Fatoramos 1raiz5 para fora da integral:
1raiz5 integral 1sintheta , dtheta = 1raiz5 integral csctheta , dtheta

Passo 7

Sabemos que a integral de csctheta é -ln|csctheta + cottheta| + C, onde C é a constante de integração. Então:
1raiz5 ( -ln|csctheta + cottheta| ) + C

Passo 8

Agora, precisamos voltar à variável original u. Lembramos que:
u = raiz5 sintheta implies sintheta = uraiz5
Desenhando um triângulo retângulo onde o lado oposto a theta é u, a hipotenusa é raiz5, e o lado adjacente é raiz5 - u^2.
Então:
csctheta = 1sintheta = raiz5u cottheta = costhetasintheta = raiz5 - u^2u

Passo 9

Substituímos essas expressões de volta na solução:
1raiz5 ( -ln| raiz5u + raiz5 - u^2u | ) + C = -1raiz5 ln| raiz5 + raiz5 - u^2u | + C

Resposta

A integral é igual a
-1raiz5 ln| raiz5 + raiz5 - u^2u | + C

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