Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo radicais como . Vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas e fazer uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos que temos na integral. Isso se assemelha à forma , onde . Nesse caso, usamos a substituição trigonométrica . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituímos e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Fatoramos para fora da integral:

Passo 7

Sabemos que a integral de é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 8

Agora, precisamos voltar à variável original . Lembramos que:
Desenhando um triângulo retângulo onde o lado oposto a é , a hipotenusa é , e o lado adjacente é .
Então:

Passo 9

Substituímos essas expressões de volta na solução:

Resposta

A integral é igual a

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