Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando o método de substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo radicais como . Vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas e fazer uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, identificamos que temos na integral. Isso se assemelha à forma , onde . Nesse caso, usamos a substituição trigonométrica . Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Passo 4
Substituímos e na integral original:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Fatoramos para fora da integral:
Passo 7
Sabemos que a integral de é , onde é a constante de integração. Então:
Passo 8
Agora, precisamos voltar à variável original . Lembramos que:
Desenhando um triângulo retângulo onde o lado oposto a é , a hipotenusa é , e o lado adjacente é .
Então:
Passo 9
Substituímos essas expressões de volta na solução: