Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo radicais como
. Vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas e fazer uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, identificamos que temos
na integral. Isso se assemelha à forma
, onde
. Nesse caso, usamos a substituição trigonométrica
. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Fatoramos
para fora da integral:
Passo 7
Sabemos que a integral de
é
, onde
é a constante de integração. Então:
Passo 8
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembramos que:
Desenhando um triângulo retângulo onde o lado oposto a
é
, a hipotenusa é
, e o lado adjacente é
.
Então:
Passo 9
Substituímos essas expressões de volta na solução:
Resposta
A integral é igual a