Calcule as seguintes integrais: (usando a técnica de decomposição em frações parciais: )
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, a gente vai usar a técnica de decomposição em frações parciais, que é uma forma de simplificar frações que são polinômios divididos por outros polinômios. Para isso, precisamos fatorar o denominador
.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser escrita como:
Então, a fração original fica:
Passo 3
Agora, vamos expressar
como soma de frações parciais. Assumimos que:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Passo 5
Agrupamos os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto,
.
Passo 7
Agora, substituímos
e
na expressão das frações parciais:
Passo 8
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Isso fica:
Passo 9
Integrando cada termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
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(f) , com
(f)
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,
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