Calcule as seguintes integrais: (usando a técnica de decomposição em frações parciais: ) integral xx^2-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, a gente vai usar a técnica de decomposição em frações parciais, que é uma forma de simplificar frações que são polinômios divididos por outros polinômios. Para isso, precisamos fatorar o denominador .

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser escrita como:
xx^2-4 = x(x - 2)(x + 2)
Então, a fração original fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar x(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2 como soma de frações parciais. Assumimos que:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x = A(x + 2) + B(x - 2) para eliminar os denominadores:
x = A x + 2A + B x - 2B
Expandindo os termos:

Passo 5

Agrupamos os termos semelhantes:
x = (A + B)x + (2A - 2B)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 1 2A - 2B = 0

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
Da segunda equação:
2A - 2B = 0 Rightarrow A = B
Substituindo A + A = 1 Rightarrow 2A = 1 Rightarrow A = 12 na primeira equação:
Portanto, .

Passo 7

Agora, substituímos x(x - 2)(x + 2) = 1/2x - 2 + 1/2x + 2 e na expressão das frações parciais:

Passo 8

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral xx^2-4 , dx = integral ( 1/2x - 2 + 1/2x + 2 ) dx
Isso fica:
12 integral 1x - 2 , dx + 12 integral 1x + 2 , dx

Passo 9

Integrando cada termo:
12 ln|x - 2| + 12 ln|x + 2| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
12 ln|x - 2| + 12 ln|x + 2| = 12 ln| (x - 2)(x + 2) | = 12 ln|x^2 - 4|

Resposta

integral xx^2-4 , dx = 12 ln|x^2 - 4| + C

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