Calcule as seguintes integrais: (usando a técnica de decomposição em frações parciais: )

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, a gente vai usar a técnica de decomposição em frações parciais, que é uma forma de simplificar frações que são polinômios divididos por outros polinômios. Para isso, precisamos fatorar o denominador .

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser escrita como:
Então, a fração original fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar como soma de frações parciais. Assumimos que:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:

Passo 5

Agrupamos os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, .

Passo 7

Agora, substituímos e na expressão das frações parciais:

Passo 8

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Isso fica:

Passo 9

Integrando cada termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

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(f) , com
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,
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