Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar os pontos onde a equação se comporta de forma especial, chamados de pontos singulares. Depois, vamos ver se cada um desses pontos é regular ou irregular. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação diferencial. A equação dada é:
Aqui, temos:
Passo 3
Os pontos singulares ocorrem onde
, porque nesses pontos o comportamento da equação pode mudar. Vamos resolver:
Isso dá duas soluções:
Então, os pontos singulares são
e
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se cada ponto singular é regular ou irregular. Para isso, usamos as seguintes condições para um ponto singular
ser regular:
-
deve ser analítico em . -
também deve ser analítico em .
Se alguma dessas condições não for satisfeita, o ponto é irregular.
Vamos verificar para cada ponto:
Para
:
Calculando
e
:
Agora, multiplicamos pelas potências de
(que é
nesse caso):
Ambas as expressões são polinomiais e, portanto, são analíticas em
. Então,
é um ponto singular regular.
Para
:
Calculando
e
:
Agora, multiplicamos pelas potências de
(que é
nesse caso):
As duas expressões são polinomiais e, portanto, são analíticas em
. Então,
também é um ponto singular regular.
Resposta
Os pontos singulares são
e
. Ambos são pontos singulares regulares.
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e curva
parametrizada por
:
©
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(a)
(a)