Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial e precisa encontrar os pontos onde a equação se comporta de forma especial, chamados de pontos singulares. Depois, vamos ver se cada um desses pontos é regular ou irregular. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação diferencial. A equação dada é:
Aqui, temos:

Passo 3

Os pontos singulares ocorrem onde , porque nesses pontos o comportamento da equação pode mudar. Vamos resolver:
Isso dá duas soluções:
Então, os pontos singulares são e .

Passo 4

Agora, vamos verificar se cada ponto singular é regular ou irregular. Para isso, usamos as seguintes condições para um ponto singular ser regular:
  1. deve ser analítico em .
  2. também deve ser analítico em .
Se alguma dessas condições não for satisfeita, o ponto é irregular.
Vamos verificar para cada ponto:

Para :
Calculando e :
Agora, multiplicamos pelas potências de (que é nesse caso):
Ambas as expressões são polinomiais e, portanto, são analíticas em . Então, é um ponto singular regular.

Para :
Calculando e :
Agora, multiplicamos pelas potências de (que é nesse caso):
As duas expressões são polinomiais e, portanto, são analíticas em . Então, também é um ponto singular regular.

Resposta

Os pontos singulares são e . Ambos são pontos singulares regulares.

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,
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©
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(a)