Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.1):
(f) , com

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a transformada de Fourier do sinal , onde . Vamos usar a definição da transformada de Fourier, que geralmente é apresentada como uma integral. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como aplicar integrais em funções que envolvem exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no sinal . A função é a função degrau de Heaviside, que vale 0 pra e 1 pra . Então, quando a gente multiplica por , o sinal vira:
Ou seja, pra e zero em outro caso.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da definição da transformada de Fourier. Geralmente, ela é dada por:
Mas, como nosso é zero pra , a integral fica mais simples:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. A gente pode juntar os expoentes porque têm a mesma base:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, lembramos que:
desde que a parte real de seja positiva. No nosso caso, e, como , a condição é satisfeita. Então:

Resposta

A transformada de Fourier do sinal é:

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Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.1):
(e)
Seja o retângulo, em , com vértices e , com orientação anti-horária. Calcule:
b)
Calcule as seguintes integrais: (usando a técnica de decomposição em frações parciais: )
Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,