Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.1):
(f)
, com
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a transformada de Fourier do sinal
, onde
. Vamos usar a definição da transformada de Fourier, que geralmente é apresentada como uma integral. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como aplicar integrais em funções que envolvem exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no sinal
. A função
é a função degrau de Heaviside, que vale 0 pra
e 1 pra
. Então, quando a gente multiplica por
, o sinal vira:
Ou seja,
pra
e zero em outro caso.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da definição da transformada de Fourier. Geralmente, ela é dada por:
Mas, como nosso
é zero pra
, a integral fica mais simples:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. A gente pode juntar os expoentes porque têm a mesma base:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, lembramos que:
desde que a parte real de
seja positiva. No nosso caso,
e, como
, a condição é satisfeita. Então:
Resposta
A transformada de Fourier do sinal é:
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Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.1):
(e)
(e)
Seja
o retângulo, em
, com vértices
e
, com orientação anti-horária. Calcule:
b)
b)
Calcule as seguintes integrais: (usando a técnica de decomposição em frações parciais: )
Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,