Calcule a integral de linha para cada campo vetorial F e curva C parametrizada por r(t) :
© F(x, y, z)=(xyz, 3 xy^2, 4 z), r(t)=(3 t, t^2, 4 t^3), 0 <= t <= 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral para o campo vetorial F(x, y, z) = (xyz, 3xy^2, 4z) ao longo da curva r(t) = (3t, t^2, 4t^3), onde t varia de 0 a 4. Vamos usar cálculo vetorial, especificamente a formulação de integrais de linha paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula da integral de linha para um campo vetorial F ao longo de uma curva parametrizada r(t):
integralC F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Isso significa que substituímos as coordenadas da curva na função F e depois fazemos o produto escalar com a derivada da parametrização r'(t).

Passo 3

Vamos calcular r'(t), que é a derivada de r(t) em relação a t:
r(t) = (3t, t^2, 4t^3)
Derivando cada componente:
r'(t) = ( ddt(3t), ddt(t^2), ddt(4t^3) ) = (3, 2t, 12t^2)

Passo 4

Agora, substituímos r(t) na função F:
F(r(t)) = ( (3t)(t^2)(4t^3), 3(3t)(t^2)^2, 4(4t^3) ) = (12t^6, 9t^5, 16t^3)

Passo 5

Fazemos o produto escalar de F(r(t)) com r'(t):
F(r(t)) cdot r'(t) = (12t^6)(3) + (9t^5)(2t) + (16t^3)(12t^2) = 36t^6 + 18t^6 + 192t^5 = 54t^6 + 192t^5

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de t = 0 a t = 4:
integral0^4 (54t^6 + 192t^5) , dt
Calculando as integrais separadamente:
integral 54t^6 , dt = 54 cdot t^77 = 547t^7
integral 192t^5 , dt = 192 cdot t^66 = 32t^6

Passo 7

Agora, avaliamos de 0 a 4:
[ 547t^7 + 32t^6 ]0^4 = ( 547 cdot 4^7 + 32 cdot 4^6 ) - ( 547 cdot 0^7 + 32 cdot 0^6 )
Simplificando:
547 cdot 16384 + 32 cdot 4096 = 54 cdot 163847 + 131072
Calculando os valores:
54 cdot 163847 = 8847367 approx 126390.857
126390.857 + 131072 = 257462.857

Resposta

A integral de linha é aproximadamente 257,462.86.

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