Calcule a integral de linha para cada campo vetorial
e curva
parametrizada por
:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral para o campo vetorial
ao longo da curva
, onde
varia de 0 a 4. Vamos usar cálculo vetorial, especificamente a formulação de integrais de linha paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula da integral de linha para um campo vetorial
ao longo de uma curva parametrizada
:
Isso significa que substituímos as coordenadas da curva na função
e depois fazemos o produto escalar com a derivada da parametrização
.
Passo 3
Vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Derivando cada componente:
Passo 4
Agora, substituímos
na função
:
Passo 5
Fazemos o produto escalar de
com
:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Calculando as integrais separadamente:
Passo 7
Agora, avaliamos de 0 a 4:
Simplificando:
Calculando os valores:
Resposta
A integral de linha é aproximadamente
.
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