Calcule a integral de linha para cada campo vetorial e curva parametrizada por :
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Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral para o campo vetorial ao longo da curva , onde varia de 0 a 4. Vamos usar cálculo vetorial, especificamente a formulação de integrais de linha paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula da integral de linha para um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada :
Isso significa que substituímos as coordenadas da curva na função e depois fazemos o produto escalar com a derivada da parametrização .

Passo 3

Vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Derivando cada componente:

Passo 4

Agora, substituímos na função :

Passo 5

Fazemos o produto escalar de com :

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de a :
Calculando as integrais separadamente:

Passo 7

Agora, avaliamos de 0 a 4:
Simplificando:
Calculando os valores:

Resposta

A integral de linha é aproximadamente .

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(a)
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