Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Passo 1
Então, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem dada por
. O objetivo aqui é encontrar todos os pontos singulares dessa equação e verificar se cada um deles é regular ou irregular. Vamos precisar entender o que são pontos singulares em equações diferenciais e como classificá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Para isso, dividimos toda a equação pelo coeficiente de
, que é
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos singulares. Eles ocorrem onde os coeficientes
ou
não são analíticos, ou seja, onde eles se tornam indefinidos ou infinitos. Observando
e
, vemos que eles são indefinidos quando
e
.
Passo 4
Temos, portanto, dois pontos singulares:
e
. Agora, precisamos verificar se cada um é regular ou irregular. Para isso, usamos o seguinte critério:
- Um ponto singular
é regular se as funções e são analíticas em . - Caso contrário, o ponto é irregular.
Passo 5
Vamos verificar para
:
Ambas as expressões são constantes e, portanto, analíticas em
. Logo,
é um ponto singular regular.
Passo 6
Agora, para
:
Para
, a expressão
se torna infinita, enquanto
permanece finita. Portanto, uma das funções não é analítica em
, o que torna
um ponto singular irregular.
Resposta
Os pontos singulares da equação são
e
. O ponto
é um ponto singular regular, e o ponto
é um ponto singular irregular.