Expresse a integral , onde B é a região triangular no plano-xy com vértices , (2,0) e ( 2,4 ), como uma integral dupla iterada sobre uma região no plano-uv fazendo as seguintes mudanças de variáveis:
b)
Depois, resolva apenas uma delas, pois em ambos os casos o resultado deve ser o mesmo!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a integral dupla onde é um triângulo com vértices em , e . A matéria que estamos usando aqui é mudança de variáveis em integrais duplas, e vamos precisar entender como fazer essa transformação usando as novas variáveis e dadas por:
Para resolver isso, vamos seguir passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar e em termos de e . Dada as transformações:
Podemos resolver para e :
Substituindo em :
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o Jacobian dessa transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais de e em relação a e . A matriz Jacobiana é:
Calculando as derivadas:
Então, o Jacobian é:
Isso significa que .
Passo 4
Agora, vamos determinar os novos limites de integração na região . O triângulo original tem vértices em , e . Vamos transformar esses pontos para as coordenadas e :
Para :
Então,
Para :
Então,
Para :
Então,
Portanto, a região é um triângulo com vértices em , e .
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral original na nova coordenada e :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos determinar os limites de integração para e na região . Observando o triângulo com vértices em , e :
varia de 0 a 2.
Para cada , varia de 0 até .
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando em relação a :
Avaliando de 0 a :
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos substituir de volta na integral externa: