Expresse a integral integral dupla(y-x) d x d y, onde B é a região triangular no plano-xy com vértices (0,0)^B, (2,0) e ( 2,4 ), como uma integral dupla iterada sobre uma região Bu v no plano-uv fazendo as seguintes mudanças de variáveis:
b) u=x-y2, v=y2
Depois, resolva apenas uma delas, pois em ambos os casos o resultado deve ser o mesmo!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a integral dupla u = x - y2, v = y2 onde é um triângulo com vértices em , e . A matéria que estamos usando aqui é mudança de variáveis em integrais duplas, e vamos precisar entender como fazer essa transformação usando as novas variáveis e dadas por:
Para resolver isso, vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar u = x - y2 e v = y2 e v = y2 Rightarrow y = 2v em termos de u = x - 2v2 = x - v Rightarrow x = u + v e x = u + v e y = 2v . Dada as transformações:
Podemos resolver para e :
Substituindo em :
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o Jacobian dessa transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais de J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v e partial xpartial u = 1, partial xpartial v = 1, partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 2 em relação a J = 1 & 1 0 & 2 Rightarrow det(J) = (1)(2) - (1)(0) = 2 e . A matriz Jacobiana é:
Calculando as derivadas:
Então, o Jacobian é:
Isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos determinar os novos limites de integração na região u = 0 - 02 = 0, v = 02 = 0 . O triângulo original u = 2 - 02 = 2, v = 02 = 0 tem vértices em u = 2 - 42 = 0, v = 42 = 2 , e . Vamos transformar esses pontos para as coordenadas e :
  1. Para :
Então,
  1. Para :
Então,
  1. Para :
Então,
Portanto, a região é um triângulo com vértices em , e .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original na nova coordenada integral duplaB (y - x) , dx , dy = integral duplaBuv (2v - (u + v)) cdot 2 , du , dv e 2v - (u + v) = v - u :
integral duplaBuv (v - u) cdot 2 , du , dv = 2 integral duplaBuv (v - u) , du , dv
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos determinar os limites de integração para 2 integralv=0^2 integralu=0^2 - v (v - u) , du , dv e na região . Observando o triângulo com vértices em , e :
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até .
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integralu=0^2 - v (v - u) , du :
integral (v - u) , du = v u - u^22
Integrando [ v(2 - v) - (2 - v)^22 ] - [ 0 - 0 ] = 2v - v^2 - 4 - 4v + v^22 = 2v - v^2 - 2 + 2v - v^22 em relação a 4v - 3v^22 - 2 :
Avaliando de 0 a :
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos substituir de volta na integral externa:
2 integral0^2 (4v - 3v^22 - 2) , dv = 2 [ integral0^2 4v , dv - integral0^2 3v^22 , dv - integral0^2 2 , dv ]
Calculando cada integral:
integral 4v , dv = 2v^2 |0^2 = 8
integral 3v^22 , dv = v^32 |0^2 = 4
integral 2 , dv = 2v |0^2 = 4
Substituindo:
2 (8 - 4 - 4) = 2 times 0 = 0

Resposta

O valor da integral dupla é .

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