Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é identificar todos os pontos singulares dessa equação e verificar se cada um deles é regular ou irregular. Para isso, vamos precisar reescrever a equação na forma padrão e analisar os coeficientes envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Para isso, dividimos todos os termos da equação original por
:
Aqui, identificamos os coeficientes
e
:
Passo 3
Pontos singulares ocorrem onde os coeficientes
ou
não são analíticos, ou seja, não podem ser representados por uma série de potências nesse ponto. Normalmente, isso acontece quando o denominador desses coeficientes se anula.
Examinando
e
, vemos que ambos têm o denominador
. Esse denominador é zero quando:
Portanto, os pontos singulares são
e
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar se cada ponto singular é regular ou irregular. Para isso, usamos o seguinte critério:
- Um ponto singular
é regular se as funções e são analíticas em . - Caso contrário, o ponto é irregular.
Vamos analisar cada ponto:
Para
:
- Calculamos
:
Essa expressão é analítica em
.
- Calculamos
:
Também é analítica em
.
Conclusão:
é um ponto singular regular.
Para
:
- Calculamos
:
Essa expressão possui uma singularidade em
, pois o denominador se anula.
- Calculamos
:
Embora
no numerador some com parte do denominador, ainda restam termos que não são analíticos em
.
Conclusão:
é um ponto singular irregular.
Resposta
Os pontos singulares da equação são
e
. O ponto
é um ponto singular regular, enquanto
é um ponto singular irregular.