Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
(1-x^2)^2 y'' + x(1-x) y' + (1+x) y = 0,

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é identificar todos os pontos singulares dessa equação e verificar se cada um deles é regular ou irregular. Para isso, vamos precisar reescrever a equação na forma padrão e analisar os coeficientes envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Para isso, dividimos todos os termos da equação original por :
Aqui, identificamos os coeficientes e :

Passo 3

Pontos singulares ocorrem onde os coeficientes ou não são analíticos, ou seja, não podem ser representados por uma série de potências nesse ponto. Normalmente, isso acontece quando o denominador desses coeficientes se anula.
Examinando e , vemos que ambos têm o denominador . Esse denominador é zero quando:
Portanto, os pontos singulares são e .

Passo 4

Agora, precisamos determinar se cada ponto singular é regular ou irregular. Para isso, usamos o seguinte critério:
  • Um ponto singular é regular se as funções e são analíticas em .
  • Caso contrário, o ponto é irregular.
Vamos analisar cada ponto:

Para :

  1. Calculamos :
Essa expressão é analítica em .
  1. Calculamos :
Também é analítica em .
Conclusão: é um ponto singular regular.

Para :

  1. Calculamos :
Essa expressão possui uma singularidade em , pois o denominador se anula.
  1. Calculamos :
Embora no numerador some com parte do denominador, ainda restam termos que não são analíticos em .
Conclusão: é um ponto singular irregular.

Resposta

Os pontos singulares da equação são e . O ponto é um ponto singular regular, enquanto é um ponto singular irregular.

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