Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é identificar todos os pontos singulares dessa equação e verificar se cada um deles é regular ou irregular. Para isso, vamos precisar reescrever a equação na forma padrão e analisar os coeficientes envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Para isso, dividimos todos os termos da equação original por
:
Aqui, identificamos os coeficientes
e
:
Passo 3
Pontos singulares ocorrem onde os coeficientes
ou
não são analíticos, ou seja, não podem ser representados por uma série de potências nesse ponto. Normalmente, isso acontece quando o denominador desses coeficientes se anula.
Examinando
e
, vemos que ambos têm o denominador
. Esse denominador é zero quando:
Portanto, os pontos singulares são
e
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar se cada ponto singular é regular ou irregular. Para isso, usamos o seguinte critério:
- Um ponto singular
é regular se as funções e são analíticas em . - Caso contrário, o ponto é irregular.
Vamos analisar cada ponto:
Para
:
- Calculamos
:
Essa expressão é analítica em
.
- Calculamos
:
Também é analítica em
.
Conclusão:
é um ponto singular regular.
Para
:
- Calculamos
:
Essa expressão possui uma singularidade em
, pois o denominador se anula.
- Calculamos
:
Embora
no numerador some com parte do denominador, ainda restam termos que não são analíticos em
.
Conclusão:
é um ponto singular irregular.
Resposta
Os pontos singulares da equação são
e
. O ponto
é um ponto singular regular, enquanto
é um ponto singular irregular.
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Expresse a integral
, onde B é a região triangular no plano-xy com vértices
, (2,0) e ( 2,4 ), como uma integral dupla iterada sobre uma região
no plano-uv fazendo as seguintes mudanças de variáveis:
b)
Depois, resolva apenas uma delas, pois em ambos os casos o resultado deve ser o mesmo!
b)
Depois, resolva apenas uma delas, pois em ambos os casos o resultado deve ser o mesmo!
Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
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Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(b)
(b)
Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
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