Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada inversa de Fourier do sinal
. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de transformada de Fourier, que é uma ferramenta usada para transformar sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada inversa de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada inversa de Fourier. Ela é dada por:
Isso significa que para encontrar
, precisamos integrar o produto de
pelo exponencial
sobre todas as frequências
, e então multiplicar o resultado por
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na fórmula da transformada inversa:
Passo 4
Podemos simplificar os constantes fora da integral:
Isso reduz para:
Passo 5
Sabemos que a integral de uma função multiplicada por uma delta de Dirac
é igual à função avaliada em
. Ou seja:
Aplicando isso às duas integrais:
Passo 6
Agora, usamos a identidade de Euler que relaciona exponenciais complexos com funções trigonométricas:
Substituindo isso na equação:
Resposta
A transformada inversa de Fourier de
é: