Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada inversa de Fourier do sinal . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de transformada de Fourier, que é uma ferramenta usada para transformar sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada inversa de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada inversa de Fourier. Ela é dada por:
Isso significa que para encontrar , precisamos integrar o produto de pelo exponencial sobre todas as frequências , e então multiplicar o resultado por .

Passo 3

Agora, vamos substituir na fórmula da transformada inversa:

Passo 4

Podemos simplificar os constantes fora da integral:
Isso reduz para:

Passo 5

Sabemos que a integral de uma função multiplicada por uma delta de Dirac é igual à função avaliada em . Ou seja:
Aplicando isso às duas integrais:

Passo 6

Agora, usamos a identidade de Euler que relaciona exponenciais complexos com funções trigonométricas:
Substituindo isso na equação:

Resposta

A transformada inversa de Fourier de é:

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Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Expresse a integral , onde B é a região triangular no plano-xy com vértices , (2,0) e ( 2,4 ), como uma integral dupla iterada sobre uma região no plano-uv fazendo as seguintes mudanças de variáveis:
b)
Depois, resolva apenas uma delas, pois em ambos os casos o resultado deve ser o mesmo!
Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(d)