Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada inversa de Fourier do sinal
. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de transformada de Fourier, que é uma ferramenta usada para transformar sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada inversa de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada inversa de Fourier. Ela é dada por:
Isso significa que para encontrar
, precisamos integrar o produto de
pelo exponencial
sobre todas as frequências
, e então multiplicar o resultado por
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na fórmula da transformada inversa:
Passo 4
Podemos simplificar os constantes fora da integral:
Isso reduz para:
Passo 5
Sabemos que a integral de uma função multiplicada por uma delta de Dirac
é igual à função avaliada em
. Ou seja:
Aplicando isso às duas integrais:
Passo 6
Agora, usamos a identidade de Euler que relaciona exponenciais complexos com funções trigonométricas:
Substituindo isso na equação:
Resposta
A transformada inversa de Fourier de
é:
Exercícios relacionados
Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Expresse a integral
, onde B é a região triangular no plano-xy com vértices
, (2,0) e ( 2,4 ), como uma integral dupla iterada sobre uma região
no plano-uv fazendo as seguintes mudanças de variáveis:
b)
Depois, resolva apenas uma delas, pois em ambos os casos o resultado deve ser o mesmo!
b)
Depois, resolva apenas uma delas, pois em ambos os casos o resultado deve ser o mesmo!
Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(d)
(d)