Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(b) X(j omega) = 4 pi (delta(omega - omega0) + delta(omega + omega0))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada inversa de Fourier do sinal . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de transformada de Fourier, que é uma ferramenta usada para transformar sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada inversa de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada inversa de Fourier. Ela é dada por:
Isso significa que para encontrar , precisamos integrar o produto de pelo exponencial sobre todas as frequências , e então multiplicar o resultado por .

Passo 3

Agora, vamos substituir na fórmula da transformada inversa:

Passo 4

Podemos simplificar os constantes fora da integral:
Isso reduz para:

Passo 5

Sabemos que a integral de uma função multiplicada por uma delta de Dirac é igual à função avaliada em . Ou seja:
Aplicando isso às duas integrais:

Passo 6

Agora, usamos a identidade de Euler que relaciona exponenciais complexos com funções trigonométricas:
Substituindo isso na equação:

Resposta

A transformada inversa de Fourier de é:

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