Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial:
O objetivo aqui é encontrar todos os pontos singulares dessa equação e verificar se cada um deles é regular ou irregular. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares em equações diferenciais e como classificá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial de segunda ordem na forma padrão:
Comparando com a nossa equação, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos singulares. Um ponto é dito singular se . Se não se anula em nenhum ponto do domínio, a equação é dita ser de ponto ordinário em todo lugar.
No nosso caso, . Então, quando . Portanto, o único ponto singular é .

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se o ponto singular é regular ou irregular. Para isso, usamos os critérios de regularidade.
Primeiro, definimos:
Um ponto singular é regular se as funções e são analíticas (ou seja, têm série de potências convergente) em . Caso contrário, é irregular.

Passo 5

Vamos aplicar isso ao nosso ponto :
Calculando :
Isso é uma função constante, que é analítica em .
Agora, calculando :
Esta é uma função polinomial, que também é analítica em .

Passo 6

Como ambas as funções e são analíticas em , concluímos que o ponto singular é um ponto singular regular.

Resposta

A equação diferencial dada possui um único ponto singular em , e esse ponto é regular.

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(b)
Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
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(d)
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