Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial:
O objetivo aqui é encontrar todos os pontos singulares dessa equação e verificar se cada um deles é regular ou irregular. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos singulares em equações diferenciais e como classificá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial de segunda ordem na forma padrão:
Comparando com a nossa equação, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos singulares. Um ponto
é dito singular se
. Se
não se anula em nenhum ponto do domínio, a equação é dita ser de ponto ordinário em todo lugar.
No nosso caso,
. Então,
quando
. Portanto, o único ponto singular é
.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se o ponto singular
é regular ou irregular. Para isso, usamos os critérios de regularidade.
Primeiro, definimos:
Um ponto singular
é regular se as funções
e
são analíticas (ou seja, têm série de potências convergente) em
. Caso contrário, é irregular.
Passo 5
Vamos aplicar isso ao nosso ponto
:
Calculando
:
Isso é uma função constante, que é analítica em
.
Agora, calculando
:
Esta é uma função polinomial, que também é analítica em
.
Passo 6
Como ambas as funções
e
são analíticas em
, concluímos que o ponto singular
é um ponto singular regular.
Resposta
A equação diferencial dada possui um único ponto singular em
, e esse ponto é regular.
Exercícios relacionados
Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(b)
(b)
Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(d)
(d)
Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(e)
(e)