Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é para calcular a transformada inversa de Fourier de um sinal
que vale
quando
e zero quando
. Isso envolve conceitos de transformadas de Fourier, que são ferramentas usadas para analisar sinais no domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar usar a definição da transformada inversa de Fourier e algumas propriedades básicas dessas transformadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada inversa de Fourier. A transformada inversa de Fourier de
é dada por:
Isso significa que para encontrar
, a gente precisa integrar
ao longo de todo o eixo
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição ao nosso
. Sabemos que
quando
e
quando
. Então, a integral vai ficar limitada entre
e
:
Passo 4
A gente pode simplificar a expressão tirando a constante
para fora da integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de
a
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão usando a identidade de Euler para a função seno. Sabemos que:
Substituindo isso na expressão anterior:
Passo 7
Voltando à expressão para
:
Resposta
A transformada inversa de Fourier do sinal dado é:
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Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(b)
(b)
Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(e)
(e)
Calcule as integrais de linha:
, onde
é dada por
,
.