Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é para calcular a transformada inversa de Fourier de um sinal que vale quando e zero quando . Isso envolve conceitos de transformadas de Fourier, que são ferramentas usadas para analisar sinais no domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar usar a definição da transformada inversa de Fourier e algumas propriedades básicas dessas transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada inversa de Fourier. A transformada inversa de Fourier de é dada por:
Isso significa que para encontrar , a gente precisa integrar ao longo de todo o eixo .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição ao nosso . Sabemos que quando e quando . Então, a integral vai ficar limitada entre e :

Passo 4

A gente pode simplificar a expressão tirando a constante para fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de a :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão usando a identidade de Euler para a função seno. Sabemos que:
Substituindo isso na expressão anterior:

Passo 7

Voltando à expressão para :

Resposta

A transformada inversa de Fourier do sinal dado é:

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Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(b)
Calcule a transformada inversa de Fourier dos seguintes sinais via Eq. (1.2):
(e)
Calcule as integrais de linha: , onde é dada por , .