Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Passo 1
Vamos resolver uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar todos os pontos singulares dessa equação e verificar se cada um deles é regular ou irregular. Para isso, vamos precisar entender sobre pontos singulares em equações diferenciais lineares e como classificá-los.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação diferencial na forma padrão:
Aqui, temos:
Os pontos singulares ocorrem onde
. Assim, resolvemos:
Isso nos dá:
Portanto, os pontos singulares são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se cada ponto singular é regular ou irregular. Para um ponto singular
, ele é regular se as seguintes expressões forem analíticas (ou sejam, tenham séries de Taylor que convergem) em
:
Caso contrário, o ponto é irregular.
Vamos analisar cada ponto:
Ponto
:
Calculamos:
A primeira expressão é constante e analítica. A segunda expressão, ao simplificar, não apresenta singulartidades além de e
, que já são pontos singulares. Logo,
é um ponto singular regular.
Ponto
:
Calculamos:
Ao avaliar
próximo a 1, vemos que ambas as expressões permanecem finitas e analíticas. Portanto,
é um ponto singular regular.
Ponto
:
Calculamos:
Assim como no caso anterior, ambas as expressões são finitas e analíticas perto de
. Portanto,
também é um ponto singular regular.
Resposta
Os pontos singulares da equação são
,
e
. Todos esses pontos são singulares regulares.