Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular. ,

Passo 1

Vamos resolver uma equação diferencial de segunda ordem: O objetivo é encontrar todos os **pontos singulares** dessa equação e verificar se cada um deles é **regular** ou **irregular**. Para isso, vamos precisar entender sobre **pontos singulares** em equações diferenciais lineares e como classificá-los.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação diferencial na forma padrão: Aqui, temos: Os **pontos singulares** ocorrem onde . Assim, resolvemos: Isso nos dá: Portanto, os pontos singulares são , e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se cada ponto singular é **regular** ou **irregular**. Para um ponto singular , ele é **regular** se as seguintes expressões forem analíticas (ou sejam, tenham séries de Taylor que convergem) em : Caso contrário, o ponto é **irregular**. Vamos analisar cada ponto: ### Ponto : Calculamos: A primeira expressão é constante e analítica. A segunda expressão, ao simplificar, não apresenta singulartidades além de e , que já são pontos singulares. Logo, é um **ponto singular regular**. ### Ponto : Calculamos: Ao avaliar próximo a 1, vemos que ambas as expressões permanecem finitas e analíticas. Portanto, é um **ponto singular regular**. ### Ponto : Calculamos: Assim como no caso anterior, ambas as expressões são finitas e analíticas perto de . Portanto, também é um **ponto singular regular**.

Resposta

Os pontos singulares da equação são , e . Todos esses pontos são **singulares regulares**.

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