Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
x(1-x^2) y'' + (1-x^2) y' + 2(1+x) y = 0,

Passo 1

Vamos resolver uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar todos os pontos singulares dessa equação e verificar se cada um deles é regular ou irregular. Para isso, vamos precisar entender sobre pontos singulares em equações diferenciais lineares e como classificá-los.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação diferencial na forma padrão:
Aqui, temos:
Os pontos singulares ocorrem onde . Assim, resolvemos:
Isso nos dá:
Portanto, os pontos singulares são , e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se cada ponto singular é regular ou irregular. Para um ponto singular , ele é regular se as seguintes expressões forem analíticas (ou sejam, tenham séries de Taylor que convergem) em :
Caso contrário, o ponto é irregular.
Vamos analisar cada ponto:

Ponto :

Calculamos:
A primeira expressão é constante e analítica. A segunda expressão, ao simplificar, não apresenta singulartidades além de e , que já são pontos singulares. Logo, é um ponto singular regular.

Ponto :

Calculamos:
Ao avaliar próximo a 1, vemos que ambas as expressões permanecem finitas e analíticas. Portanto, é um ponto singular regular.

Ponto :

Calculamos:
Assim como no caso anterior, ambas as expressões são finitas e analíticas perto de . Portanto, também é um ponto singular regular.

Resposta

Os pontos singulares da equação são , e . Todos esses pontos são singulares regulares.

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