Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Passo 1
Vamos resolver uma equação diferencial de segunda ordem:
O objetivo é encontrar todos os **pontos singulares** dessa equação e verificar se cada um deles é **regular** ou **irregular**. Para isso, vamos precisar entender sobre **pontos singulares** em equações diferenciais lineares e como classificá-los.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação diferencial na forma padrão:
Aqui, temos:
Os **pontos singulares** ocorrem onde . Assim, resolvemos:
Isso nos dá:
Portanto, os pontos singulares são , e .
Passo 3
Agora, vamos verificar se cada ponto singular é **regular** ou **irregular**. Para um ponto singular , ele é **regular** se as seguintes expressões forem analíticas (ou sejam, tenham séries de Taylor que convergem) em :
Caso contrário, o ponto é **irregular**.
Vamos analisar cada ponto:
### Ponto :
Calculamos:
A primeira expressão é constante e analítica. A segunda expressão, ao simplificar, não apresenta singulartidades além de e , que já são pontos singulares. Logo, é um **ponto singular regular**.
### Ponto :
Calculamos:
Ao avaliar próximo a 1, vemos que ambas as expressões permanecem finitas e analíticas. Portanto, é um **ponto singular regular**.
### Ponto :
Calculamos:
Assim como no caso anterior, ambas as expressões são finitas e analíticas perto de . Portanto, também é um **ponto singular regular**.
Resposta
Os pontos singulares da equação são , e . Todos esses pontos são **singulares regulares**.
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;
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