Calcule as integrais de linha: , onde é a intersecção das superfícies e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! Primeiramente, o enunciado pede para calcular , onde é a intersecção das superfícies e .
Conteúdo da matéria envolvido:
Integrais de linha: São usadas para calcular somatórios ao longo de uma curva no espaço.
Parametrização de curvas: Para facilitar o cálculo, representamos a curva por meio de parâmetros.
Cálculo de : Representa um pequeno trecho de comprimento ao longo da curva.
Vamos precisar parametrizar a curva e expressar , e em termos de um parâmetro, geralmente , para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Sabemos que é a intersecção do cilindro com o plano .
Para parametrizar o cilindro , podemos usar coordenadas polares:
Aqui, varia de a para traçar toda a circunferência.
Passo 3
Agora, usando a equação do plano , podemos expressar em termos de :
Substituindo :
Então, a parametrização completa da curva fica:
Passo 4
Agora que temos a parametrização, precisamos encontrar , que representa um pequeno trecho de comprimento ao longo da curva. O em coordenadas paramétricas é dado por:
Vamos calcular as derivadas:
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas na fórmula de :
Passo 6
Agora, vamos expressar a função em termos de :
Então, a integral fica:
Passo 7
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição:
Vamos chamar .
Então, .
Observamos que no nosso integrando temos , que aparece ideal para essa substituição.