Calcule as integrais de linha: integralC x y d s, onde C é a intersecção das superfícies x^2+y^2=4 e y+z=8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! Primeiramente, o enunciado pede para calcular , onde é a intersecção das superfícies e .
Conteúdo da matéria envolvido:
  • Integrais de linha: São usadas para calcular somatórios ao longo de uma curva no espaço.
  • Parametrização de curvas: Para facilitar o cálculo, representamos a curva por meio de parâmetros.
  • Cálculo de : Representa um pequeno trecho de comprimento ao longo da curva.
Vamos precisar parametrizar a curva e expressar , e em termos de um parâmetro, geralmente , para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = 2 cos theta . Sabemos que y = 2 sin theta é a intersecção do cilindro com o plano .
Para parametrizar o cilindro , podemos usar coordenadas polares:
Aqui, varia de a para traçar toda a circunferência.

Passo 3

Agora, usando a equação do plano z = 8 - y , podemos expressar z = 8 - 2 sin theta em termos de x = 2 cos theta y = 2 sin theta z = 8 - 2 sin theta :
Substituindo :
Então, a parametrização completa da curva fica:

Passo 4

Agora que temos a parametrização, precisamos encontrar ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 + (dzdtheta)^2 , dtheta , que representa um pequeno trecho de comprimento ao longo da curva. O dxdtheta = -2 sin theta em coordenadas paramétricas é dado por:
dydtheta = 2 cos theta
Vamos calcular as derivadas:
dzdtheta = -2 cos theta

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas na fórmula de ds = raiz(-2 sin theta)^2 + (2 cos theta)^2 + (-2 cos theta)^2 , dtheta :
ds = raiz4 sin^2 theta + 4 cos^2 theta + 4 cos^2 theta , dtheta
ds = raiz4 (sin^2 theta + cos^2 theta + cos^2 theta) , dtheta
ds = raiz4 (1 + cos^2 theta) , dtheta
ds = 2 raiz1 + cos^2 theta , dtheta

Passo 6

Agora, vamos expressar a função x y = (2 cos theta)(2 sin theta) = 4 cos theta sin theta em termos de integralC x y , ds = integral0^2pi 4 cos theta sin theta cdot 2 raiz1 + cos^2 theta , dtheta :
= 8 integral0^2pi cos theta sin theta raiz1 + cos^2 theta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição:
Vamos chamar cos theta sin theta , dtheta = -12 du .
Então, 8 integralC cos theta sin theta raizu , dtheta = 8 ( -12 integral raizu , du ) .
Observamos que no nosso integrando temos = -4 integral raizu , du , que aparece ideal para essa substituição.
Rearranjando:
integral raizu , du = 23 u^3/2 + C
Substituindo na integral:
Agora, integramos :

Passo 8

Substituindo de volta -4 cdot 23 u^3/2 = -83 (1 + cos^2 theta)^3/2 :
-83 (1 + cos^2 theta)^3/2 |0^2pi
Agora, avaliamos de -83 (1 + 1^2)^3/2 + 83 (1 + 1^2)^3/2 = 0 a :
Observamos que , então:

Resposta

A integral de linha é igual a 0.

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