Calcule as integrais de linha: , onde é a intersecção das superfícies e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! Primeiramente, o enunciado pede para calcular , onde é a intersecção das superfícies e .
Conteúdo da matéria envolvido:
  • Integrais de linha: São usadas para calcular somatórios ao longo de uma curva no espaço.
  • Parametrização de curvas: Para facilitar o cálculo, representamos a curva por meio de parâmetros.
  • Cálculo de : Representa um pequeno trecho de comprimento ao longo da curva.
Vamos precisar parametrizar a curva e expressar , e em termos de um parâmetro, geralmente , para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Sabemos que é a intersecção do cilindro com o plano .
Para parametrizar o cilindro , podemos usar coordenadas polares:
Aqui, varia de a para traçar toda a circunferência.

Passo 3

Agora, usando a equação do plano , podemos expressar em termos de :
Substituindo :
Então, a parametrização completa da curva fica:

Passo 4

Agora que temos a parametrização, precisamos encontrar , que representa um pequeno trecho de comprimento ao longo da curva. O em coordenadas paramétricas é dado por:
Vamos calcular as derivadas:

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas na fórmula de :

Passo 6

Agora, vamos expressar a função em termos de :
Então, a integral fica:

Passo 7

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição:
Vamos chamar .
Então, .
Observamos que no nosso integrando temos , que aparece ideal para essa substituição.
Rearranjando:
Substituindo na integral:
Agora, integramos :

Passo 8

Substituindo de volta :
Agora, avaliamos de a :
Observamos que , então:

Resposta

A integral de linha é igual a 0.

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