Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação utilizando a definição de diferencial e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais indefinidas.
Conteúdo da Matéria:
  • Equações diferenciais de primeira ordem
  • Técnicas de integração, especialmente para funções racionais
Ferramentas Necessárias:
  • Manipulação algébrica de frações
  • Métodos de integração, como decomposição em frações parciais

Passo 2

Iniciando a Resolução:
Para resolver a equação diferencial dada, começamos integrando ambos os lados em relação a :
Explicação:
A solução de uma equação diferencial da forma é a integral de mais uma constante de integração .

Passo 3

Simplificando a Fração:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Explicação:
Decompondo o numerador em permite simplificar a fração em termos mais fáceis de integrar.

Passo 4

Reescrevendo a Integral:
Substituindo a simplificação na integral, temos:
Explicação:
A integral de uma soma é igual à soma das integrais, permitindo separar os termos para facilitar o cálculo.

Passo 5

Resolvendo a Segunda Integral:
Focamos agora na integral :
Assim,
Explicação:
Dividindo o numerador em permite reescrever a fração de forma que seja mais fácil de integrar.

Passo 6

Calculando as Integrais:
Primeira parte:
Segunda parte:
Para resolver a segunda integral, reconhecemos que:
Portanto,
Explicação:
Utilizamos a decomposição em frações parciais para facilitar a integração da função racional.

Passo 7

Substituindo de Volta nas Expressões:
Voltando para a expressão de :
Simplificando:
Explicação:
Realizamos as operações aritméticas para combinar os termos e simplificar a expressão final da solução.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;
Calcule as integrais de linha: , onde é a intersecção das superfícies e .
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem: