Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação utilizando a definição de diferencial e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais indefinidas.
Conteúdo da Matéria:
Equações diferenciais de primeira ordem
Técnicas de integração, especialmente para funções racionais
Ferramentas Necessárias:
Manipulação algébrica de frações
Métodos de integração, como decomposição em frações parciais
Passo 2
Iniciando a Resolução:
Para resolver a equação diferencial dada, começamos integrando ambos os lados em relação a :
Explicação:
A solução de uma equação diferencial da forma é a integral de mais uma constante de integração .
Passo 3
Simplificando a Fração:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Explicação:
Decompondo o numerador em permite simplificar a fração em termos mais fáceis de integrar.
Passo 4
Reescrevendo a Integral:
Substituindo a simplificação na integral, temos:
Explicação:
A integral de uma soma é igual à soma das integrais, permitindo separar os termos para facilitar o cálculo.
Passo 5
Resolvendo a Segunda Integral:
Focamos agora na integral :
Assim,
Explicação:
Dividindo o numerador em permite reescrever a fração de forma que seja mais fácil de integrar.
Passo 6
Calculando as Integrais:
Primeira parte:
Segunda parte:
Para resolver a segunda integral, reconhecemos que:
Portanto,
Explicação:
Utilizamos a decomposição em frações parciais para facilitar a integração da função racional.
Passo 7
Substituindo de Volta nas Expressões:
Voltando para a expressão de :
Simplificando:
Explicação:
Realizamos as operações aritméticas para combinar os termos e simplificar a expressão final da solução.