Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! A questão nos pede para classificar uma equação diferencial, identificando a ordem e o grau algébrico dela. Além disso, temos que verificar se a função é realmente uma solução dessa equação.
O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais, especificamente:
  • Ordem da equação diferencial: a ordem é determinada pelo maior derivado presente na equação.
  • Grau algébrico: é o expoente do maior derivado quando a equação está escrita de forma polinomial em relação às derivadas.
  • Verificação de solução: envolve substituir a função dada na equação para ver se ela satisfaz a igualdade.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a . Então, a ordem da equação é 1, já que a derivada mais alta presente é a primeira derivada.

Passo 3

Agora, vamos determinar o grau algébrico da equação. O grau é o expoente do maior derivado quando a equação está polinomialmente organizada em relação às derivadas.
Nossa equação é:
Observamos que aparece apenas na primeira potência, ou seja, está elevado a 1. Portanto, o grau algébrico da equação é 1.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função é uma solução da equação diferencial dada. Para isso, precisamos substituir e sua derivada na equação e ver se a igualdade é satisfeita.
Primeiro, encontramos a derivada de :
Usando a regra da cadeia para derivar:

Passo 5

Agora, vamos substituir e na equação diferencial:
Substituindo:
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, vamos analisar se essa expressão é igual a 2 para todo no domínio. Observamos que a expressão resultante depende de e envolve funções trigonométricas compostas que, em geral, não simplificam para uma constante como 2.
Portanto, a igualdade:
não é verdadeira para valores gerais de . Isso significa que a função não é uma solução da equação diferencial dada.

Resposta

A equação diferencial é de primeira ordem e grau algébrico 1. Além disso, a função não é uma solução dessa equação.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais de linha: , onde é a hélice circular dada por , do ponto até .
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem: