Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! A questão nos pede para classificar uma equação diferencial, identificando a ordem e o grau algébrico dela. Além disso, temos que verificar se a função
é realmente uma solução dessa equação.
O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais, especificamente:
- Ordem da equação diferencial: a ordem é determinada pelo maior derivado presente na equação.
- Grau algébrico: é o expoente do maior derivado quando a equação está escrita de forma polinomial em relação às derivadas.
- Verificação de solução: envolve substituir a função dada na equação para ver se ela satisfaz a igualdade.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Aqui,
é a primeira derivada de
em relação a
. Então, a ordem da equação é 1, já que a derivada mais alta presente é a primeira derivada.
Passo 3
Agora, vamos determinar o grau algébrico da equação. O grau é o expoente do maior derivado quando a equação está polinomialmente organizada em relação às derivadas.
Nossa equação é:
Observamos que
aparece apenas na primeira potência, ou seja, está elevado a 1. Portanto, o grau algébrico da equação é 1.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função
é uma solução da equação diferencial dada. Para isso, precisamos substituir
e sua derivada
na equação e ver se a igualdade é satisfeita.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Usando a regra da cadeia para derivar:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, vamos analisar se essa expressão é igual a 2 para todo
no domínio. Observamos que a expressão resultante depende de
e envolve funções trigonométricas compostas que, em geral, não simplificam para uma constante como 2.
Portanto, a igualdade:
não é verdadeira para valores gerais de
. Isso significa que a função
não é uma solução da equação diferencial dada.
Resposta
A equação diferencial é de primeira ordem e grau algébrico 1. Além disso, a função
não é uma solução dessa equação.
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, onde
é a hélice circular dada por
, do ponto
até
.
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,
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