Calcule as integrais de linha: , onde é a hélice circular dada por , do ponto até .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo integrais de linha! O que a gente tem aqui é uma integral de linha da função ao longo de uma hélice circular definida pela parametrização , indo do ponto até . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o diferencial de arco , e então integrar a função ao longo dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções paramétricas da hélice:
com variando de a para ir de a .

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial de arco . Para isso, precisamos da derivada do vetor posição :
O módulo dessa derivada é:
Então, temos:

Passo 4

Agora, substituímos , , e na função a ser integrada:
Então, a integral de linha fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Então:

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Calcule , ao longo da linha poligonal , onde , e é a origem.
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;
Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,