Calcule as integrais de linha: integralC(x^2+y^2-z) d s, onde C é a hélice circular dada por r(t)=cos t i+ sen t j+t k, do ponto P(1,0,0) até P(1,0,2 pi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo integrais de linha! O que a gente tem aqui é uma integral de linha da função ao longo de uma hélice circular definida pela parametrização , indo do ponto até . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular o diferencial de arco , e então integrar a função ao longo dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções paramétricas da hélice:
com x(t) = cos t, y(t) = sen t, z(t) = t variando de a para ir de a .

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial de arco r,'(t) = ddt [cos t , i + sen t , j + t , k] = -sen t , i + cos t , j + k . Para isso, precisamos da derivada do vetor posição |r,'(t)| = raiz(-sen t)^2 + (cos t)^2 + (1)^2 = raizsen^2 t + cos^2 t + 1 = raiz1 + 1 = raiz2 :
O módulo dessa derivada é:
Então, temos:
ds = |r,'(t)| dt = raiz2 , dt

Passo 4

Agora, substituímos x^2 + y^2 - z = (cos t)^2 + (sen t)^2 - t = 1 - t , integralC (x^2 + y^2 - z) , ds = integral0^2pi (1 - t) cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^2pi (1 - t) , dt , e na função a ser integrada:
Então, a integral de linha fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
raiz2 integral0^2pi (1 - t) , dt = raiz2 [ integral0^2pi 1 , dt - integral0^2pi t , dt ]
Calculando cada parte:
integral0^2pi 1 , dt = 2pi
integral0^2pi t , dt = t^22 |0^2pi = (2pi)^22 - 0 = 2pi^2
Então:
raiz2 ( 2pi - 2pi^2 ) = 2raiz2 pi (1 - pi)

Resposta

A integral de linha vale .

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