Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar todos os pontos singulares dessa equação diferencial:
Vamos precisar entender o que são pontos singulares e diferenciar entre pontos regulares e irregulares. Basicamente, um ponto singular é onde o coeficiente de se anula, ou seja, onde .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos singulares resolvendo . Isso é uma equação quadrática, e podemos resolver pela fórmula de Bhaskara:
Onde , , e . Substituindo:
Então, os pontos são:

Passo 3

Agora que temos os pontos singulares e , vamos verificar se cada um é regular ou irregular.
Para isso, usamos os coeficientes da equação na forma padrão:
Dividindo toda a equação por :
Agora, identificamos e .

Passo 4

Para determinar se um ponto singular é regular, verificamos se e são analíticos em .
Vamos analisar cada ponto:
  1. Para :
    • , que é analítico em .
    • , também analítico em .
    Então, é um ponto singular regular.
  2. Para :
    • , que é analítico em .
    • , também analítico em .
    Portanto, também é um ponto singular regular.

Resposta

Os pontos singulares são e , e ambos são pontos singulares regulares.

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.
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Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,