Calcule
, onde
e
é dado por
,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
e a curva
é definida pelas equações paramétricas
,
,
, com
variando de 0 a 1. Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a definição de integral de linha para campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Já temos as equações paramétricas:
,
,
, onde
vai de 0 a 1. Isso significa que podemos escrever o vetor posição como
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso nos dá a velocidade do vetor ao longo da curva:
Passo 4
A integral de linha
pode ser reescrita em termos do parâmetro
:
Isso significa que precisamos substituir
por
usando as parametrizações de
,
e
.
Passo 5
Vamos substituir
,
e
na expressão de
:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Passo 8
Vamos resolver a integral separadamente:
Passo 9
Somando os resultados das integrais:
Resposta
A integral de linha é
.
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.
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,
Determine a área da esfera de raio
cuja representação paramétrica é dada por
onde o domínio dos parâmetros é