Calcule , onde e é dado por , .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva é definida pelas equações paramétricas , , , com variando de 0 a 1. Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a definição de integral de linha para campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Já temos as equações paramétricas: , , , onde vai de 0 a 1. Isso significa que podemos escrever o vetor posição como .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Isso nos dá a velocidade do vetor ao longo da curva:

Passo 4

A integral de linha pode ser reescrita em termos do parâmetro :
Isso significa que precisamos substituir por usando as parametrizações de , e .

Passo 5

Vamos substituir , e na expressão de :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de a :

Passo 8

Vamos resolver a integral separadamente:

Passo 9

Somando os resultados das integrais:

Resposta

A integral de linha é .

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Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
.
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Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Determine a área da esfera de raio cuja representação paramétrica é dada por
onde o domínio dos parâmetros é