Calcule integralC f cdot d r, onde f=(x y, y z, z x) e C é dado por x=t, y=t^2 e z=t^3, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC f cdot d r, onde o campo vetorial é f = (xy, yz, zx) e a curva C é definida pelas equações paramétricas x = t, y = t^2, z = t^3, com t variando de 0 a 1. Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a definição de integral de linha para campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva C. Já temos as equações paramétricas: x = t, y = t^2, z = t^3, onde t vai de 0 a 1. Isso significa que podemos escrever o vetor posição como r(t) = (t, t^2, t^3).

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é d r/dt. Isso nos dá a velocidade do vetor ao longo da curva:
d rdt = ( dxdt, dydt, dzdt ) = (1, 2t, 3t^2)

Passo 4

A integral de linha integralC f cdot d r pode ser reescrita em termos do parâmetro t:
integral0^1 f(r(t)) cdot d rdt dt
Isso significa que precisamos substituir f por f(t) usando as parametrizações de x, y e z.

Passo 5

Vamos substituir x = t, y = t^2 e z = t^3 na expressão de f:
f(t) = (x y, y z, z x) = (t cdot t^2, t^2 cdot t^3, t^3 cdot t) = (t^3, t^5, t^4)

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar f(t) cdot d rdt:
(t^3, t^5, t^4) cdot (1, 2t, 3t^2) = t^3 cdot 1 + t^5 cdot 2t + t^4 cdot 3t^2 = t^3 + 2t^6 + 3t^6 = t^3 + 5t^6

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de t = 0 a t = 1:
integral0^1 (t^3 + 5t^6) dt

Passo 8

Vamos resolver a integral separadamente:
integral0^1 t^3 dt = [ t^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14
integral0^1 5t^6 dt = 5 [ t^77 ]0^1 = 5 ( 17 - 0 ) = 57

Passo 9

Somando os resultados das integrais:
14 + 57 = 728 + 2028 = 2728

Resposta

A integral de linha é dfrac2728.

Exercícios relacionados