Determine a área da esfera de raio cuja representação paramétrica é dada por
onde o domínio dos parâmetros é

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma esfera com raio descrita por equações paramétricas em termos dos parâmetros e . O objetivo é determinar a área dessa esfera. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a integração de superfícies parametrizadas.

Passo 2

Para encontrar a área de uma superfície parametrizada, usamos a fórmula da integral de superfície. Precisamos calcular as derivadas parciais das coordenadas em relação aos parâmetros e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Em seguida, encontramos o produto vetorial dessas derivadas parciais para obter o vetor normal à superfície:

Passo 5

Calculamos a magnitude desse vetor para obter o elemento de área diferencial:

Passo 6

Agora, configuramos a integral para a área da esfera sobre o domínio dado :

Passo 7

Resolvemos a integral interna em relação a :

Passo 8

Agora, resolvemos a integral externa em relação a :

Resposta

A área da esfera é .

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Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Calcule , onde e é dado por , .
Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,
Calcule a integral , onde é campo vetorial 1) , ao longo de qualquer caminho que une o ponto a .