Determine a área da esfera de raio cuja representação paramétrica é dada por
onde o domínio dos parâmetros é
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma esfera com raio descrita por equações paramétricas em termos dos parâmetros e . O objetivo é determinar a área dessa esfera. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a integração de superfícies parametrizadas.
Passo 2
Para encontrar a área de uma superfície parametrizada, usamos a fórmula da integral de superfície. Precisamos calcular as derivadas parciais das coordenadas em relação aos parâmetros e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Em seguida, encontramos o produto vetorial dessas derivadas parciais para obter o vetor normal à superfície:
Passo 5
Calculamos a magnitude desse vetor para obter o elemento de área diferencial:
Passo 6
Agora, configuramos a integral para a área da esfera sobre o domínio dado :
Passo 7
Resolvemos a integral interna em relação a :
Passo 8
Agora, resolvemos a integral externa em relação a :