Determine a área da esfera de raio r cuja representação paramétrica é dada por
x = r * sen(phi) * cos(theta) y = r * sen(phi) * sen(theta) z = r * cos(phi)
onde o domínio dos parâmetros é
D = { (phi, theta) | 0 <= phi <= pi, 0 <= theta <= 2 pi }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma esfera com raio descrita por equações paramétricas em termos dos parâmetros e . O objetivo é determinar a área dessa esfera. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a integração de superfícies parametrizadas.

Passo 2

Para encontrar a área de uma superfície parametrizada, usamos a fórmula da integral de superfície. Precisamos calcular as derivadas parciais das coordenadas em relação aos parâmetros e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Em seguida, encontramos o produto vetorial dessas derivadas parciais para obter o vetor normal à superfície:

Passo 5

Calculamos a magnitude desse vetor para obter o elemento de área diferencial:

Passo 6

Agora, configuramos a integral para a área da esfera sobre o domínio dado :

Passo 7

Resolvemos a integral interna em relação a :

Passo 8

Agora, resolvemos a integral externa em relação a :

Resposta

A área da esfera é .

Exercícios relacionados