Em cada uma das seguintes equações diferencias, determine todos os pontos singulares e verifique se cada um deles é regular ou irregular.
,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é analisar essa equação diferencial para encontrar os pontos singulares e ver se eles são regulares ou irregulares. A matéria que estamos usando envolve equações diferenciais de segunda ordem e o conceito de pontos singulares. Vamos precisar entender como identificar esses pontos e classificar cada um deles.
A equação que temos é:

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de segunda ordem, que é:
Para isso, vamos dividir toda a equação por :
Assim, identificamos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos singulares. Pontos singulares são os valores de onde os coeficientes ou não são analíticos (ou seja, onde eles têm singularidades, como divisões por zero).
Observando as funções e :
  • tem uma divisão por , então é um ponto problemático.
  • também tem uma divisão por , confirmando que é um ponto singular.
Portanto, o único ponto singular é .

Passo 4

Agora que identificamos como ponto singular, vamos verificar se ele é um ponto singular regular ou irregular.
Para isso, usamos os critérios de Fuchs:
  1. Multiplicamos por , onde é o ponto singular, e verificamos se o resultado é analítico em .
  2. Multiplicamos por e verificamos também se o resultado é analítico em .
Aplicando isso para :
  • Como quando está próximo de 0, temos:
    Isso é uma função analítica em .

  • Isso também é uma função analítica em .

Resposta

O único ponto singular é , e ele é um ponto singular regular.

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,
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