Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos integrar o lado direito em relação a
para encontrar a solução geral
. Precisaremos usar técnicas de integração para cada termo da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar o termo
. Esse tipo de integral pode ser um pouco complicado, pois envolve uma função exponencial dividida por uma potência de
. Infelizmente, não existe uma antiderivada elemental para essa expressão, então vamos deixá-la representada como uma integral indefinida:
Passo 3
Agora, vamos integrar o segundo termo
. A integral de
em relação a
é mais simples e podemos resolver usando uma substituição básica:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Juntando as duas integrais, a solução geral da equação diferencial é a soma das integrais dos dois termos mais a constante de integração:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: