Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de onde possa garantir que isso aconteça.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um problema que envolve verificar se ele é um problema de Cauchy, ou seja, um problema de valor inicial para uma equação diferencial. A gente vai estudar se existe e se é única a solução desse problema. Se for de Cauchy, também vamos descobrir um conjunto aberto no plano onde isso acontece. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e os teoremas que garantem existência e unicidade de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a forma do problema que você me enviou:
Aqui, temos uma equação diferencial envolvendo e sua derivada , além de uma condição inicial .
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para colocar em evidência . Isso facilita aplicar os teoremas de existência e unicidade. Subtraindo 3 de ambos os lados e dividindo por , obtemos:
Agora, temos a equação na forma padrão de um problema de valor inicial: com uma condição inicial.
Passo 4
Para verificar se esse é um problema de Cauchy que garante existência e unicidade de solução, vamos usar o Teorema de Picard-Lindelöf. Esse teorema diz que se a função e sua derivada parcial em relação a , , são contínuas em um certo conjunto aberto que contém o ponto inicial, então existe uma única solução que passa por esse ponto.
Passo 5
Vamos identificar nossa função e sua derivada parcial:
Calculando a derivada parcial em relação a :
Precisamos que tanto quanto sejam contínuas no conjunto aberto que vamos determinar.
Passo 6
Analisando a continuidade, percebemos que está no denominador. Isso significa que não pode ser zero para garantir a continuidade de e . Sabemos que quando . Portanto, vamos escolher um intervalo para onde não se anula.
Passo 7
Vamos escolher um intervalo aberto ao redor de que não contenha os pontos onde . Um bom candidato é , pois dentro desse intervalo, é sempre positiva e diferente de zero.
Passo 8
Também precisamos considerar próximo do valor inicial . Vamos escolher em um intervalo aberto ao redor de 1, por exemplo, , garantindo que fique entre -1 e 3, o que é suficiente para manter e contínuos.
Passo 9
Assim, o conjunto aberto onde podemos garantir a existência e unicidade da solução é:
Dentro desse conjunto, o Teorema de Picard-Lindelöf assegura que existe uma única solução para o problema de Cauchy dado.
Resposta
Sim, o problema dado é um problema de Cauchy. Um subconjunto aberto de onde a existência e unicidade da solução são garantidas é: