Calcule a integral , onde é campo vetorial 1) , ao longo de qualquer caminho que une o ponto a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . O caminho liga o ponto ao ponto . A matéria que a gente vai usar aqui é cálculo vetorial, especificamente integração de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional for zero. O rotacional de é dado por:
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Como todas as componentes do rotacional são zero, temos que . Portanto, o campo é conservativo.

Passo 3

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial tal que . Aí, a integral de linha vai depender só dos pontos inicial e final, não do caminho. Vamos encontrar essa função .
Sabemos que:
Integrando a primeira equação em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos à segunda equação:
Substituindo na expressão de :
Agora, derivamos em relação a e igualamos à terceira equação:
Podemos ignorar a constante (já que ela se cancela depois). Então, a função potencial fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função potencial nos pontos e :
Para :
Para :

Resposta

A integral é igual a .

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