Calcule a integral , onde é campo vetorial 1) , ao longo de qualquer caminho que une o ponto a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . O caminho liga o ponto ao ponto . A matéria que a gente vai usar aqui é cálculo vetorial, especificamente integração de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional for zero. O rotacional de é dado por:
Calculando cada componente:
Componente i:
partialpartial y(x y + 2 z) - partialpartial z(x z + 1) = x - x = 0
Componente j:
partialpartial z(y z + 2) - partialpartial x(x y + 2 z) = y - y = 0
Componente k:
partialpartial x(x z + 1) - partialpartial y(y z + 2) = z - z = 0
Como todas as componentes do rotacional são zero, temos que nabla times f = 0. Portanto, o campo f é conservativo.
Passo 3
Como o campo f é conservativo, existe uma função potencial phi tal que f = nabla phi. Aí, a integral de linha vai depender só dos pontos inicial e final, não do caminho. Vamos encontrar essa função phi.
Sabemos que:
partial phipartial x = y z + 2 partial phipartial y = x z + 1 partial phipartial z = x y + 2 z
Integrando a primeira equação em relação a x:
phi = integral (y z + 2) dx = (y z + 2)x + g(y, z)
Agora, derivamos phi em relação a y e igualamos à segunda equação:
partial phipartial y = z x + partial gpartial y = x z + 1 Rightarrow partial gpartial y = 1 Rightarrow g(y, z) = y + h(z)
Substituindo g(y, z) na expressão de phi:
phi = (y z + 2)x + y + h(z)
Agora, derivamos phi em relação a z e igualamos à terceira equação:
partial phipartial z = y x + h'(z) = x y + 2 z Rightarrow h'(z) = 2 z Rightarrow h(z) = z^2 + C
Podemos ignorar a constante C (já que ela se cancela depois). Então, a função potencial fica:
phi = (y z + 2)x + y + z^2
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função potencial phi nos pontos B(1,2,1) e A(0,0,1):