Calcule a integral integralC f cdot d r, onde f é campo vetorial f=(y z+2) i+(x z+ 1) j+(x y+2 z) k, ao longo de qualquer caminho que une o ponto A(0,0,1) a B(1,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha integralC f cdot d r, onde o campo vetorial é f = (y z + 2) i + (x z + 1) j + (x y + 2 z) k. O caminho C liga o ponto A(0,0,1) ao ponto B(1,2,1). A matéria que a gente vai usar aqui é cálculo vetorial, especificamente integração de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o campo f é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o campo f é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional for zero. O rotacional de f é dado por:
nabla times f = | ccc i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y z + 2 & x z + 1 & x y + 2 z |
Calculando cada componente:
  • Componente i:
partialpartial y(x y + 2 z) - partialpartial z(x z + 1) = x - x = 0
  • Componente j:
partialpartial z(y z + 2) - partialpartial x(x y + 2 z) = y - y = 0
  • Componente k:
partialpartial x(x z + 1) - partialpartial y(y z + 2) = z - z = 0
Como todas as componentes do rotacional são zero, temos que nabla times f = 0. Portanto, o campo f é conservativo.

Passo 3

Como o campo f é conservativo, existe uma função potencial phi tal que f = nabla phi. Aí, a integral de linha vai depender só dos pontos inicial e final, não do caminho. Vamos encontrar essa função phi.
Sabemos que:
partial phipartial x = y z + 2 partial phipartial y = x z + 1 partial phipartial z = x y + 2 z
Integrando a primeira equação em relação a x:
phi = integral (y z + 2) dx = (y z + 2)x + g(y, z)
Agora, derivamos phi em relação a y e igualamos à segunda equação:
partial phipartial y = z x + partial gpartial y = x z + 1 Rightarrow partial gpartial y = 1 Rightarrow g(y, z) = y + h(z)
Substituindo g(y, z) na expressão de phi:
phi = (y z + 2)x + y + h(z)
Agora, derivamos phi em relação a z e igualamos à terceira equação:
partial phipartial z = y x + h'(z) = x y + 2 z Rightarrow h'(z) = 2 z Rightarrow h(z) = z^2 + C
Podemos ignorar a constante C (já que ela se cancela depois). Então, a função potencial fica:
phi = (y z + 2)x + y + z^2

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função potencial phi nos pontos B(1,2,1) e A(0,0,1):
Para B(1,2,1):
phi(B) = (2 cdot 1 + 2) cdot 1 + 2 + 1^2 = (2 + 2) cdot 1 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7
Para A(0,0,1):
phi(A) = (0 cdot 1 + 2) cdot 0 + 0 + 1^2 = 0 + 0 + 1 = 1

Resposta

A integral integralC f cdot d r é igual a 7 - 1 = 6.

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