Em cada um dos seguintes exercícios, determine se S é um subespaço vetorial de R^2. Represente geometricamente.
2.1 S=(x, y) in R^2: x=0

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que pede para determinar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz três condições fundamentais para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em x = 0 e y = 0 Rightarrow (0, 0) in S . O vetor zero em é .
  • Verificação do vetor zero:
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se u = (0, y1) e v = (0, y2) é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em u + v = (0 + 0, y1 + y2) = (0, y1 + y2) , a soma deles também deve estar em .
  • Sejam dois vetores em :
  • Soma dos vetores:
    Como o primeiro componente é , a soma também está em .

Passo 4

Agora, vamos verificar se u = (0, y) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor em c cdot u = (c cdot 0, c cdot y) = (0, c y) e multiplicarmos por um escalar , o resultado também deve estar em .
  • Seja um vetor em :
  • Multiplicação por escalar:
    Novamente, o primeiro componente permanece , então também está em .

Passo 5

Por último, vamos representar geometricamente. O conjunto consiste em todos os vetores de onde a primeira coordenada é zero. Geometricamente, isso forma o eixo y no plano cartesiano.

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de e corresponde ao eixo y no plano.

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