Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que pede para determinar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar verificar se
satisfaz três condições fundamentais para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
.
- Verificação do vetor zero:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
-
Sejam dois vetores em
: -
Soma dos vetores:Como o primeiro componente é
, a soma também está em .
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor em
e multiplicarmos por um escalar
, o resultado também deve estar em
.
-
Seja um vetor em
: -
Multiplicação por escalar:Novamente, o primeiro componente permanece
, então também está em .
Passo 5
Por último, vamos representar
geometricamente. O conjunto
consiste em todos os vetores de
onde a primeira coordenada
é zero. Geometricamente, isso forma o eixo y no plano cartesiano.
Resposta
Sim,
é um subespaço vetorial de
e corresponde ao eixo y no plano.
Exercícios relacionados
Quais das seguintes estruturas
são espaços vetoriais reais (
representa um conjunto,
e
representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações:
Seja
auto-adjunto. Prove que
implica
.
Sejam os vetores de
dados por
Aplique o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt a estes vetores para obter uma base ortonormal para
, em relação ao produto interno
, em que
e
.
Verificar em cada um dos casos se o subconjunto
do espaço vetorial
é uma base de
.
2a
Verificar em cada um dos casos se o subconjunto do espaço vetorial
é uma base de
.
2a
Verificar em cada um dos casos se o subconjunto