Em cada um dos seguintes exercícios, determine se é um subespaço vetorial de . Represente geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que pede para determinar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz três condições fundamentais para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é .
  • Verificação do vetor zero:
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
  • Sejam dois vetores em :
  • Soma dos vetores:
    Como o primeiro componente é , a soma também está em .

Passo 4

Agora, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor em e multiplicarmos por um escalar , o resultado também deve estar em .
  • Seja um vetor em :
  • Multiplicação por escalar:
    Novamente, o primeiro componente permanece , então também está em .

Passo 5

Por último, vamos representar geometricamente. O conjunto consiste em todos os vetores de onde a primeira coordenada é zero. Geometricamente, isso forma o eixo y no plano cartesiano.

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de e corresponde ao eixo y no plano.

Exercícios relacionados

Quais das seguintes estruturas são espaços vetoriais reais ( representa um conjunto, e representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações:
Seja auto-adjunto. Prove que implica .
Sejam os vetores de dados por
Aplique o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt a estes vetores para obter uma base ortonormal para , em relação ao produto interno , em que e .
Verificar em cada um dos casos se o subconjunto do espaço vetorial é uma base de .
2a
Verificar em cada um dos casos se o subconjunto do espaço vetorial é uma base de .