Verificar em cada um dos casos se o subconjunto B do espaço vetorial V é uma base de V.
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Verificar em cada um dos casos se o subconjunto B do espaço vetorial V é uma base de V. B=1,1+x, 1-x^2, 1-x-x^2-x^3, V=P3(R)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto é uma base para o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Para isso, precisamos checar duas coisas principais:
  1. Independência Linear: Os vetores (nossos polinômios) não devem ser combinações lineares uns dos outros.
  2. Geração do Espaço: A combinação linear dos vetores deve conseguir formar qualquer polinômio em .
Como tem dimensão 4 (pois polinômios de grau até 3 têm 4 coeficientes: constante, , e ), e nosso conjunto também tem 4 elementos, basta verificar a independência linear para concluir que é uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada polinômio como um vetor de coeficientes em relação à base padrão 1 &= 1 cdot 1 + 0 cdot x + 0 cdot x^2 + 0 cdot x^3 Rightarrow (1, 0, 0, 0) 1 + x &= 1 cdot 1 + 1 cdot x + 0 cdot x^2 + 0 cdot x^3 Rightarrow (1, 1, 0, 0) 1 - x^2 &= 1 cdot 1 + 0 cdot x + (-1) cdot x^2 + 0 cdot x^3 Rightarrow (1, 0, -1, 0) 1 - x - x^2 - x^3 &= 1 cdot 1 + (-1) cdot x + (-1) cdot x^2 + (-1) cdot x^3 Rightarrow (1, -1, -1, -1) . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 & -1
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 4

Calculando o determinante da matriz det(A) = 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 & -1 :
det(A) = 1 times 1 times (-1) times (-1) = 1 times 1 times 1 = 1
Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 5

Como , isso significa que a matriz é invertível e, portanto, os vetores em são linearmente independentes. Além disso, como temos 4 vetores em um espaço de dimensão 4, podemos concluir que gera todo o espaço .

Resposta

Sim, o subconjunto é uma base do espaço vetorial .

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