Verificar em cada um dos casos se o subconjunto do espaço vetorial é uma base de .
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Verificar em cada um dos casos se o subconjunto do espaço vetorial é uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto é uma base para o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Para isso, precisamos checar duas coisas principais:
  1. Independência Linear: Os vetores (nossos polinômios) não devem ser combinações lineares uns dos outros.
  2. Geração do Espaço: A combinação linear dos vetores deve conseguir formar qualquer polinômio em .
Como tem dimensão 4 (pois polinômios de grau até 3 têm 4 coeficientes: constante, , e ), e nosso conjunto também tem 4 elementos, basta verificar a independência linear para concluir que é uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada polinômio como um vetor de coeficientes em relação à base padrão . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 4

Calculando o determinante da matriz :
Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 5

Como , isso significa que a matriz é invertível e, portanto, os vetores em são linearmente independentes. Além disso, como temos 4 vetores em um espaço de dimensão 4, podemos concluir que gera todo o espaço .

Resposta

Sim, o subconjunto é uma base do espaço vetorial .

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