Sejam os vetores de
dados por
Aplique o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt a estes vetores para obter uma base ortonormal para
, em relação ao produto interno
, em que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para aplicarmos o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt em três vetores no espaço
. O objetivo é encontrar uma base ortonormal, ou seja, um conjunto de vetores que sejam todos perpendiculares entre si (ortogonais) e que tenham comprimento 1 (normalizados), usando um produto interno específico:
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Gram-Schmidt nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor
. Nosso objetivo é normalizar esse vetor para obter o primeiro vetor ortonormal
. Para normalizar, precisamos calcular o comprimento (norma) de
usando o produto interno dado.
A fórmula da norma é:
Então, o vetor normalizado
é:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo vetor
. Primeiro, precisamos torná-lo ortogonal a
. Para isso, subtraímos a projeção de
em
de
.
A projeção é calculada por:
Calculando o produto interno:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de
:
Passo 4
Agora, precisamos normalizar
para obter o segundo vetor ortonormal
.
Calculando a norma de
:
Então, o vetor normalizado
é:
Passo 5
Finalmente, vamos para o terceiro vetor
. Precisamos torná-lo ortogonal a
e
. Fazemos isso subtraindo as projeções em ambos os vetores ortonormais anteriores.
Primeiro, calculamos a projeção em
:
Depois, a projeção em
:
Agora, subtraímos ambas as projeções de
:
Passo 6
Agora, precisamos normalizar
para obter o terceiro vetor ortonormal
.
Calculando a norma de
:
Então, o vetor normalizado
é:
Resposta
A base ortonormal obtida pelo Processo de Gram-Schmidt é: