Aplique o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt a estes vetores para obter uma base ortonormal para , em relação ao produto interno , em que e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para aplicarmos o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt em três vetores no espaço . O objetivo é encontrar uma base ortonormal, ou seja, um conjunto de vetores que sejam todos perpendiculares entre si (ortogonais) e que tenham comprimento 1 (normalizados), usando um produto interno específico: . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Gram-Schmidt nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor . Nosso objetivo é normalizar esse vetor para obter o primeiro vetor ortonormal . Para normalizar, precisamos calcular o comprimento (norma) de usando o produto interno dado.
A fórmula da norma é:
Então, o vetor normalizado é:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo vetor . Primeiro, precisamos torná-lo ortogonal a . Para isso, subtraímos a projeção de em de .
A projeção é calculada por:
Calculando o produto interno:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de :
Passo 4
Agora, precisamos normalizar para obter o segundo vetor ortonormal .
Calculando a norma de :
Então, o vetor normalizado é:
Passo 5
Finalmente, vamos para o terceiro vetor . Precisamos torná-lo ortogonal a e . Fazemos isso subtraindo as projeções em ambos os vetores ortonormais anteriores.
Primeiro, calculamos a projeção em :
Depois, a projeção em :
Agora, subtraímos ambas as projeções de :
Passo 6
Agora, precisamos normalizar para obter o terceiro vetor ortonormal .
Calculando a norma de :
Então, o vetor normalizado é:
Resposta
A base ortonormal obtida pelo Processo de Gram-Schmidt é: