Sejam os vetores de R^3 dados por
u1=(1,1,1), u2=(1,1,0) e u3=(1,0,0)
Aplique o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt a estes vetores para obter uma base ortonormal para R^3, em relação ao produto interno lang<= x, yrang<==x1 y1+2 x2 y2+3 x3 y3, em que x=(x1, x2, x3) e y=(y1, y2, y3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para aplicarmos o Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt em três vetores no espaço R^3. O objetivo é encontrar uma base ortonormal, ou seja, um conjunto de vetores que sejam todos perpendiculares entre si (ortogonais) e que tenham comprimento 1 (normalizados), usando um produto interno específico: lang<= x, y rang<= = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Gram-Schmidt nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor u1 = (1, 1, 1). Nosso objetivo é normalizar esse vetor para obter o primeiro vetor ortonormal e1. Para normalizar, precisamos calcular o comprimento (norma) de u1 usando o produto interno dado.
A fórmula da norma é:
|u1| = raizlang<= u1, u1 rang<= = raiz1 cdot 1 + 2 cdot 1 cdot 1 + 3 cdot 1 cdot 1 = raiz1 + 2 + 3 = raiz6
Então, o vetor normalizado e1 é:
e1 = u1|u1| = ( 1raiz6, 1raiz6, 1raiz6 )

Passo 3

Agora, vamos para o segundo vetor u2 = (1, 1, 0). Primeiro, precisamos torná-lo ortogonal a e1. Para isso, subtraímos a projeção de u2 em e1 de u2.
A projeção é calculada por:
proje1u2 = lang<= u2, e1 rang<= e1
Calculando o produto interno:
lang<= u2, e1 rang<= = 1 cdot 1raiz6 + 2 cdot 1 cdot 1raiz6 + 3 cdot 0 cdot 1raiz6 = 1 + 2raiz6 = 3raiz6 = raiz62
Então,
proje1u2 = raiz62 cdot ( 1raiz6, 1raiz6, 1raiz6 ) = ( 12, 12, 12 )
Agora, subtraímos essa projeção de u2:
v2 = u2 - proje1u2 = (1 - 12, 1 - 12, 0 - 12 ) = ( 12, 12, -12 )

Passo 4

Agora, precisamos normalizar v2 para obter o segundo vetor ortonormal e2.
Calculando a norma de v2:
|v2| = raizlang<= v2, v2 rang<= = raiz( 12 )^2 + 2 ( 12 )^2 + 3 ( -12 )^2 = raiz14 + 24 + 34 = raiz64 = raiz32 = raiz62
Então, o vetor normalizado e2 é:
e2 = v2|v2| = ( 12raiz62, 12raiz62, -12raiz62 ) = ( 1raiz6, 1raiz6, -1raiz6 )

Passo 5

Finalmente, vamos para o terceiro vetor u3 = (1, 0, 0). Precisamos torná-lo ortogonal a e1 e e2. Fazemos isso subtraindo as projeções em ambos os vetores ortonormais anteriores.
Primeiro, calculamos a projeção em e1:
lang<= u3, e1 rang<= = 1 cdot 1raiz6 + 2 cdot 0 cdot 1raiz6 + 3 cdot 0 cdot 1raiz6 = 1raiz6
proje1u3 = 1raiz6 cdot ( 1raiz6, 1raiz6, 1raiz6 ) = ( 16, 16, 16 )
Depois, a projeção em e2:
lang<= u3, e2 rang<= = 1 cdot 1raiz6 + 2 cdot 0 cdot 1raiz6 + 3 cdot 0 cdot ( -1raiz6 ) = 1raiz6
proje2u3 = 1raiz6 cdot ( 1raiz6, 1raiz6, -1raiz6 ) = ( 16, 16, -16 )
Agora, subtraímos ambas as projeções de u3:
v3 = u3 - proje1u3 - proje2u3 = (1 - 16 - 16, 0 - 16 - 16, 0 - 16 + 16 ) = ( 46, -26, 0 ) = ( 23, -13, 0 )

Passo 6

Agora, precisamos normalizar v3 para obter o terceiro vetor ortonormal e3.
Calculando a norma de v3:
|v3| = raizlang<= v3, v3 rang<= = raiz ( 23 )^2 + 2 ( -13 )^2 + 3 cdot 0^2 = raiz 49 + 29 + 0 = raiz 69 = raiz 23 = raiz63
Então, o vetor normalizado e3 é:
e3 = v3|v3| = ( 23raiz63, -13raiz63, 0raiz63 ) = ( 2raiz6, -1raiz6, 0 )

Resposta

A base ortonormal obtida pelo Processo de Gram-Schmidt é:
e1 = ( dfrac1raiz6,, dfrac1raiz6,, dfrac1raiz6 ) e2 = ( dfrac1raiz6,, dfrac1raiz6,, -dfrac1raiz6 ) e3 = ( dfrac2raiz6,, -dfrac1raiz6,, 0 )

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