Quais das seguintes estruturas (V, R, oplus, odot) são espaços vetoriais reais ( V representa um conjunto, oplus e odot representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
1.5 V=R^3 com as operações:
(x1, x2, x3) oplus(y1, y2, y3) & =(x1+y1, x2+y2, x3+y3) alpha odot(x1, x2, x3) & =(2 alpha x1, 2 alpha x2, 2 alpha x3), alpha in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a estrutura , onde , com as operações definidas de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial real. Para isso, precisamos lembrar das regras (axiomas) que definem um espaço vetorial e verificar se elas são obedecidas nessa estrutura.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas operações definidas:
  • Adição de vetores ( (x1, x2, x3) oplus (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) ):
    alpha odot (x1, x2, x3) = (2 alpha x1, 2 alpha x2, 2 alpha x3)
    Essa é a adição padrão de vetores em .
  • Multiplicação por escalar ( ):
    Aqui, a multiplicação por escalar está multiplicando cada componente do vetor por ao invés de apenas .

Passo 3

Agora, vamos lembrar dos axiomas que um conjunto deve satisfazer para ser considerado um espaço vetorial:
  1. Comutatividade da adição:
  2. Associatividade da adição:
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor tal que
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada , existe tal que
  5. Compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação de escalares:
  6. Elemento neutro da multiplicação escalar:
  7. Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores:
  8. Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares:

Passo 4

Vamos verificar o axioma 6: 1 odot (x1, x2, x3) = (2 cdot 1 cdot x1, 2 cdot 1 cdot x2, 2 cdot 1 cdot x3) = (2x1, 2x2, 2x3) .
Aplicando a definição da multiplicação escalar:
Perceba que isso não é igual a , a menos que todos os componentes sejam zero. Portanto, o axioma 6 não é satisfeito.

Passo 5

Como pelo menos um dos axiomas (neste caso, o axioma 6) não é cumprido, podemos concluir que a estrutura dada não é um espaço vetorial real.

Resposta

A estrutura não é um espaço vetorial real, pois o axioma da identidade multiplicativa ( ) não é satisfeito.

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