Quais das seguintes estruturas
são espaços vetoriais reais (
representa um conjunto,
e
representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a estrutura
, onde
, com as operações definidas de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial real. Para isso, precisamos lembrar das regras (axiomas) que definem um espaço vetorial e verificar se elas são obedecidas nessa estrutura.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas operações definidas:
-
Adição de vetores (
): Essa é a adição padrão de vetores em. -
Multiplicação por escalar (
): Aqui, a multiplicação por escalar está multiplicando cada componente do vetor porao invés de apenas .
Passo 3
Agora, vamos lembrar dos axiomas que um conjunto deve satisfazer para ser considerado um espaço vetorial:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor
tal que - Existência de inversos aditivos: Para cada
, existe tal que - Compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação de escalares:
- Elemento neutro da multiplicação escalar:
- Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores:
- Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares:
Passo 4
Vamos verificar o axioma 6:
.
Aplicando a definição da multiplicação escalar:
Perceba que isso não é igual a
, a menos que todos os componentes sejam zero. Portanto, o axioma 6 não é satisfeito.
Passo 5
Como pelo menos um dos axiomas (neste caso, o axioma 6) não é cumprido, podemos concluir que a estrutura dada não é um espaço vetorial real.
Resposta
A estrutura não é um espaço vetorial real, pois o axioma da identidade multiplicativa (
) não é satisfeito.