Em cada um dos seguintes exercícios, determine se S é um subespaço vetorial de R^2. Represente geometricamente.
2.2 S=(x, y) in R^2: y=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto e precisamos verificar se é um subespaço vetorial do espaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais.

Passo 2

Um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em , então qualquer múltiplo escalar também deve estar em .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição. O vetor zero em é . Como para todos os vetores em , claramente .

Passo 4

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores e em . A soma desses vetores é , que também satisfaz . Portanto, .

Passo 5

Por fim, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se está em e é um escalar qualquer, então . Novamente, , então .

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de . Geometricamente, corresponde ao eixo no plano cartesiano.

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