Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
e precisamos verificar se
é um subespaço vetorial do espaço
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais.
Passo 2
Um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em , então qualquer múltiplo escalar também deve estar em .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição. O vetor zero em
é
. Como
para todos os vetores em
, claramente
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores
e
em
. A soma desses vetores é
, que também satisfaz
. Portanto,
.
Passo 5
Por fim, vamos verificar a multiplicação por escalar. Se
está em
e
é um escalar qualquer, então
. Novamente,
, então
.
Resposta
Sim,
é um subespaço vetorial de
. Geometricamente,
corresponde ao eixo
no plano cartesiano.
Exercícios relacionados
Quais das seguintes estruturas
são espaços vetoriais reais (
representa um conjunto,
e
representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações:
Verificar em cada um dos casos se o subconjunto
do espaço vetorial
é uma base de
.
2a
Verificar em cada um dos casos se o subconjunto do espaço vetorial
é uma base de
.
2a
Verificar em cada um dos casos se o subconjunto
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
. Represente geometricamente.
Em cada um dos seguintes exercícios, determine se
é um subespaço vetorial de
.